2022届山东省滨州市邹平市第一中学高三下学期3月月考数学试题（解析版）

2022届山东省滨州市邹平市第一中学高三下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则∁U(A∪B ) =

A． B． C．  D．

【答案】C

【详解】, ,

,∁U(A∪B )=．

故答案为C.

2．已知，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，利用复数的模长公式可求得的值.

【详解】，因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法与乘方法则的应用，属于基础题.

3．已知矩形的对角线长为4，若，则

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5

【答案】B

【分析】根据图像特点得到：，展开根据向量的点积运算公式得到结果.

【详解】设为对角线和的中点，则，

.由，

得.因为，，

所以 .

故答案为B.

【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

4．已知直线交圆于两点，，则（为坐标原点）的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.

【详解】由题意，圆，可得圆心，

则圆心 到直线的距离为，

所以，

所以.

故选：C.

5．若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（       ）

A． B．1 C．2 D．13

【答案】B

【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.

【详解】抛物线的焦点，故，.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.

6．若奇函数满足当时，，则不等式成立的一个充分不必要条件是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用，求出，确定，函数在上单调递增，利用函数的单调性，即可求出的解集.

【详解】由题意，，所以，

所以，所以，

函数在上单调递增，，

所以不等式的解集为，

不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集，

分析选项可得满足条件，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有根据奇函数求参数值，根据函数的单调性解不等式，充分不必要条件的定义，属于简单题目.

7．若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ）

A．80种 B．40种 C．36种 D．20种

【答案】B

【详解】将乙丙排好有种，将甲排在乙丙两人之间有一种排法，再将剩下的两人在甲乙丙排好的4个位置进行排列，分两种情况，一种是剩下两人不相邻共有种，另一种是剩下两人相邻有种，所以共有．

故选B．

【解析】排列组合的综合应用．

8．已知四面体中，为等边三角形，，若，则四面体外接球的表面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知三角形为等腰三角形，进而取边的中点，连接，可证明平面，再取的中心，过作的平行线，且使，可证明为四面体外接球球心，再设，进而，结合二次函数性质即可得半径的最小值，进而得答案.

【详解】解：因为在四面体中，为等边三角形，则.

因为，故，

如图，取边的中点，连接，

则.又，

所以平面，所以.

又，则平面.

又平面，所以.

取的中心，过作的平行线，且使，连接，

设中点为，

由于，，

所以，所以为四面体外接球球心，

不妨设，则，设四面体外接球半径为R，

则在中，，即，当时，，

所以四面体外接球的表面积的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（       ）

A．甲从到达处的方法有120种

B．甲从必须经过到达处的方法有9种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人相遇的概率为

【答案】BD

【分析】对选项A，利用组合数原理即可判断A错误，对选项B，利用分步计数原理即可判断B正确，对选项C，利用古典概型公式计算即可判断C错误，对选项D，首先计算甲、乙两人相遇的走法数，再利用古典概型公式计算即可得到D正确.

【详解】对选项A，甲从到达处，需要走步，其中向上步，向右步，

所以从到达处的方法有种，故A错误.

对选项B，甲从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，

从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，

所以甲从必须经过到达处的方法有种，故B正确.

对选项C，甲经过的方法数为，乙经过的方法数为，

所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种，

故甲、乙两人在处相遇的概率，故C错误.

对选项D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3步，乙经过处，则前三步必须向左走，两人在处相遇的走法有1种.

若甲、乙两人在或处相遇，由选项C知，各有种，

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3步，乙经过处，则乙前三步必须向下走，则两人在处相遇的走法有1种.

所以甲、乙两人相遇的概率，故D正确.

故选：BD

10．若，则关于的命题，以下正确的有（       ）

A．周期为

B．对称轴方程为

C．值域为

D．在区间上单调递减

【答案】BCD

【解析】根据函数的定义，解一个不等式即可得函数解析式，作出函数图象，结合正弦函数、余弦函数的性质利用数形结合思想判断各选项．

【详解】，

同理，

由得，，，

∴，，

作出函数的图象，如下图，

∴的周期是．A错；

直线是函数图象的对称轴，B正确；

函数最大值是1，时取得，最小值是，或，时取得，∴值域为，C正确；

由图象知函数在区间上单调递减，D正确．

故选：BCD．

【点睛】本题考查求三角函数的性质，确定新定义函数是解题关键，解题方法是作出函数图象，通过数形结合思想得出结论．

11．已知，分别为双曲线且的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，的内切圆的圆心为I，则

A．的内切圆的圆心必在直线上

B．的内切圆的圆心必在直线上

C．双曲线C的离心率等于

D．双曲线C的离心率等于

【答案】AC

【分析】利用双曲线的定义得，再结合的内切圆及过圆外一点向圆引切线，切线长相等的性质确定圆与的切点位置，完成A，B的判定，之后在通过及其内切圆半径判断C，D中三角形的面积，确定离心率的正确表达式．

【详解】设的内切圆分别与，切于点，与切于点N，

∴．

由P在双曲线的右支上，则，

又，

∴，故

设点N的坐标为，可得，解得，

∴的内切圆必经过点，

显然内切圆的圆心与点N的连线垂直于x轴，

∴内切圆的圆心必在直线上，故A正确，B错误

设内切圆半径为r，，则，，

∴，故C正确，D错误．

故选：AC．

12．如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（       ）

A．

B．

C．平面平面

D．被球截得的弦长为1

【答案】ABD

【分析】由，可得平面，再根据线面平行的性质即可证得，即可判断A；对于B，连接，证明，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即可证得，即可判断B；对于C，如图以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C；对于D，易得四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，求出半径，再利用向量法求出点到直线的距离，最后利用圆的弦长公式求出被球截得的弦长，即可判断D.

【详解】解：对于A，因为，平面，平面，

所以平面，

又因平面与平面的交线为，

所以，故A正确；

对于B，连接，

在等腰梯形中，因为，，的中点为，所以四边形都是菱形，

所以，所以，

因为底面，面，

所以，

又，所以平面，

又因平面，所以，故B正确；

对于C，如图以为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量，平面的法向量，

则，可取，

同理可取，

因为，所以与不垂直，

所以平面与平面不垂直，故C错误；

对于D，由B选项可知，，则点即为四边形外接圆的圆心，

故四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，

设外接球的半径为，则，则，

所以，

设与所成的角为，点到直线的距离为，

，

因为，直线的方向向量可取，，

则，所以，

所以，

所以被球截得的弦长为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是__________．

【答案】45

【详解】试题分析：的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解之得，所以的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.

【解析】二项式定理.

14．已知，，则________.

【答案】.

【分析】将两式平方相加，结合余弦的差角公式化简即可求得，结合降幂公式即可求得的值．

【详解】∵，，平方相加可得

即由降幂公式可得

求得.

【点睛】本题考查了余弦差角公式的用法，降幂公式的简单应用，属于基础题．

15．已知奇函数的定义域为，且当时，，曲线上存在四点，使得四边形为平行四边形，则四边形的面积为__________.

【答案】

【解析】作出函数的图象,求出的坐标，可得直线的长度，及点到直线的距离，可得四边形的面积.

【详解】解：依题意，作出函数的图象如下图所示，

其中，故直线，

点到直线的距离，，

故四边形的面积为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与函数值得求解，属于基础题型，注意运算准确.

16．函数，．若对任意实数，都存在正数，使得成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【详解】若对任意实数，都存在正数，使得成立，

得的值域是值域的子集；

在上递增，在上递减，

,时，；

，；

，当时，在上递增，

在上递减，;

当时，在上递减，在上递增，

，不符合题意舍去，   

故的取值范围是.

【点睛】双变量一个任意，一个存在的问题，转化为值域包含的问题，主要是求两个函数的值域，再转化为两个集合的子集问题即得解

四、解答题

17．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.

（2）已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

【答案】（1），；（2）24.

【分析】（1）由题意得从而可求出首项a1与公差d；

（2）由题意得求出首项a1与公差d，从而可求出a75.

【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d.

∵a5＝10，a12＝31，则

解得

∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.

 (2)　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则由题意得解得

故.

18．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：

(1)试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；

(2)为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．

【答案】(1)26

(2)

【分析】（1）根据题意频率分布直方图中的矩形面积和为得样本落在的频率为，再根据频率，频数关系求解即可；

（2）根据古典概型列举基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.

【详解】(1)解：由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，

落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01．

因此，样本落在的频率为：

所以样本中用电量在的用户数为．

(2)解：由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；

在的用户有2户，设编号分别为，，

则从6户中任取2户的样本空间为：

，共有15个样本点．设事件“走访对象来自不同分组”，

则，

所以，从而．

所以走访对象来自不同的组的概率为.

19．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.

【答案】B=30°，，，.

【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定、的大小，应用正弦定理求即可.

【详解】由且，即，可知：.

∴，

由正弦定理，

∴，.

20．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD．

(1)求证：；

(2)若，，为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接，由，证出面，即证出；

（2）设为的中点，易知底面．

以为原点，所在直线分别为轴可建立如图所示的空间直角标系，

写出点的坐标，把，，的坐标表示出来，

再求出平面的法向量为，设直线与平面所成的角为θ，则求出值即可.

【详解】(1)连接交于点，如下图，

因为四边形为菱形，所以，

因为平面，平面．

所以，又，所以BD⊥平面PAC，

又平面，所以．

(2)设为的中点，易知底面．

以为原点，所在直线分别为轴可建立如图所示的空间直角标系，

则，，，，．

因为为的中点，所以，

所以，，．

设平面的法向量为，

由可得

令，可得．

设直线与平面所成的角为θ，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.

（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.

【详解】（1）在△中，，，

解得，所以，则椭圆的方程为：.

（2）当直线斜率为0时，易知成立，

当直线斜率不为0时，设直线方程为，

，消去有，

，

所以，

综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.

22．已知函数.

（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，证明：在上恒成立.

【答案】（1） （2）见解析（3）证明见解析

【解析】（1）利用列方程，由此求得的值，进而根据切点和切线的斜率，求得曲线在点处的切线方程

（2）求得的导函数和定义域，对分成和两种情况，讨论的单调区间.

（3）当时，构造函数，利用导数证得，由此证得在上恒成立.

【详解】（1），由，得

，即切线方程为

（2）

当时，增区间为；

当时，令得，得

增区间为，减区间为

（3）令

则

令，则

函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得

且时，；时，

即时，；时

函数在上单调递减，在上单调递增

，而，即

两边取对数得

，故在上恒成立.

【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.