重难点32 随机事件的概率、古典概型—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点32  随机事件的概率、古典概型

1.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

2.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出．

(2)基本事件总数较多时，常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数．

(3) 计算公式：

P(A)＝.

注意：基本事件总数和A包含的基本事件个数必须在同一个样本空间中(即同一个分类标准下)计数．

本考点以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型为主，常与事件的频率交汇考查．在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择题、填空题的形式出现．

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．

现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：

①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，

③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：

．

故选：B．

2．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）

A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球

C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球

【答案】A

【解析】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，

故选项A中事件互斥不对立，A正确，

选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，

选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，

选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，

故选：A．

3．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

【答案】C

【解析】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

，

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为，

故选：C.

4．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有种情况，

抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有，

所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是.

故选：B.

5．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为条，错误；

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；

对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，

所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；

对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，

所以，错误.

故说法正确的个数是2.

故选：B.

6．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ）

A．只有2次出现反面 B．至多2次出现正面

C．有2次或3次出现正面 D．有0次或1次出现正面

【答案】D

【解析】连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，

对立事件为有0次或1次出现正面，

故选:D.

7．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（    ）

A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

，

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，

D选项结论正确.

故选：C

8．纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，

偶数的球被连续抽取出来，共有，

则偶数的球被连续抽取出来的概率.

故选：C

9．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38

【答案】A

【解析】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，

“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

则.

故选：A.

10．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ）

A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5

B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5

C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5

D．以上说法均不正确

【答案】B

【解析】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确；

对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确；

对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确；

对于D，显然不正确.

故选：B

11．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有人去此地的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：（法一）设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，

则至少有一人去此地的概率为

；

（法二）所求事件的概率；

故选：C．

12．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

二、填空题

13．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.

【答案】

【解析】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,

基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.

甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,

∴甲被选中的概率为p.

故答案为：.

14．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.

【答案】

【解析】设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得

设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,

所以

因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.

故答案为：

15．古典概率的性质：性质1：______，______；性质2：设A是一个事件，那么____________．

【答案】     1     0     0     1

【解析】在古典摡型的概率计算中，基本事件的总数为，所以；

由事件表示没有包含任何一个基本事件，所以；

因为必然事件的概率为，不可能事件的概率为，

所以事件A的概率满足：.

故答案为：；；；.

16．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.

【答案】

【解析】次取球中恰好次取到红球的概率大于，

，，

，，，，

又，，，

又从口袋中随机取出个球是红球的概率为，，

故答案为：

17．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.

【答案】

【解析】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.

同理，丙购买不到冰墩墩的概率.

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.

故答案为：.

18．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.

【答案】

【解析】两个都不命中的概率为，

故至少有一人命中的概率是，

故答案为：.