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重难点29 圆锥曲线综合—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练(全国通用)(原卷版)
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重难点29 圆锥曲线综合
1、处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为)
(2)利用条件找到与过定点的曲线 的联系,得到有关与的等式
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形,直至易于找到。常见的变形方向如下:
① 若等式的形式为整式,则考虑将含的项归在一组,变形为“”的形式,从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式, 的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关;或者考虑让分子分母消去的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式)
2、处理定值问题的方法:
(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示
(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数。
3、解决存在性问题的一些技巧:
(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。
(3)核心变量的求法:
①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解
②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解。
4、面积问题的解决策略:
(1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)。
(2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
圆锥曲线的综合问题涉及的主要考点是:曲线与方程;定点与定值问题;最值与范围问题;探索型与存在性问题。2023年高考在圆锥曲线的综合问题方面,命题角度将主要涉及:(1)定点、定值问题;(2)最值、范围问题;(3)证明、探究性问题.考查以下核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象.
(建议用时:40分钟)
一、单选题
1.已知是双曲线:上的一点,,是的两个焦点,若,则的取值范围是
A. B. C. D.
2.设B是椭圆的上顶点,点P在C上,则的最大值为( )
A. B. C. D.2
3.过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则等于
A.2 B. C. D.
4.对于抛物线上任意一点,点都满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则=
A. B. C.0 D.4
7.椭圆C:的左右顶点分别为,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是
A. B. C. D.
8.设为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、填空题
9.已知抛物线y2=4x,过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是________.
10.平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________________.
11.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___________.
12.已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为___________.
13.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_______.
14.过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线,交双曲线于P、Q两点,则的值为__________.
三、解答题
15.平面直角坐标系中O为坐标原点,过点.,且斜率为的直线交抛物线于两点.
(1)写出直线的方程;(2)求与的值;(3)求证:.
16.已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
17.椭圆的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点,若,且的面积为,求椭圆的标准方程.
18.已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当t=4,时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当时,求k的取值范围.