重难点28 直线与圆锥曲线的位置关系—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

这是一份重难点28 直线与圆锥曲线的位置关系—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版），共17页。试卷主要包含了直线与圆锥曲线问题的特点，韦达定理，直线方程的形式，弦长公式，点差法等内容，欢迎下载使用。
 重难点28  直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当时，斜率4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或（1）证明：因为在直线上，所以   ，代入可得：同理可证得（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：   考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：  ①  ②由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法。直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线位置关系仍然是2023年的高考热点。命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；（建议用时：40分钟）一、单选题1．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．2．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，则①．又，②．由①②得，即，，故选B．3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】设点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选：A．4．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.5．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，所以==，解得，故选A.6．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 7．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．8．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B9．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A.10．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ）A．  B． C． D．【答案】C【解析】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.12．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B. 二、填空题13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：.14．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得    所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：15．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【答案】【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即[方法三]：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为： 16．已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】［方法一］：点差法＋二次函数性质设，由得因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大.故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设，因为，所以．即 ①， ②，又因为，所以．不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．所以．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则．当时等号成立，根据易得，此时．［方法六］：中点弦性质的应用设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以． 三、解答题17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用由题意得，设直线l的方程为．设，由得． ，故．所以．由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为．［方法二］：弦长公式的应用由题意得，设直线l的方程为．设，则由得．，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为．［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以．而抛物线焦点为，故直线l的方程为．［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）．代入整理得．设两根为，则．由，解得．因为，所以，因此直线l的参数方程为故直线l的普通方程为．［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为．设，由题意得，解得，即．所以直线l的方程为．（2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或，因此所求圆的方程为或．［方法二］：硬算求解由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切．设圆心为，则所求圆的半径为．由得．所以，解得或，所以，所求圆的方程为或．18．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设,设直线的方程为．联立,化简得.则．故．则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，所以，即．因为，所以．[方法二] ：参数方程法设．设直线的倾斜角为，则其参数方程为，联立直线方程与曲线C的方程，可得，整理得．设，由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，，同理可得由，得．因为，所以．由题意分析知．所以，故直线的斜率与直线的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．设,直线的方程为，直线的方程为,则二次曲线．又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.