山东省临沂第十八中学2022届高三上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省临沂第十八中学2022届高三上学期期末考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若全集，集合，集合，则( )
A.B.C.D.
2、( )
A.2B.-1C.1D.
3、“，”的充要条件是( )
A.B.C.D.
4、《莱茵德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为( )
A.3B.4C.8D.9
5、已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则( )
A.B.C.D.
6、已知函数的部分图象如下所示，则可能为( )
A.B.
C.D.
7、设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
8、某种芯片的良品率X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为____元( )
附：随机变量服从正态分布，则，
，.
二、多项选择题
9、已知向量，，，设，所成的角为，则( )
A.B.C.D.
10、定义在R上的函数满足：x为整数时，；x不为整数时，.则( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.，D.的最小正周期为1
11、已知函数(其中，)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，下列结论正确的是( )
A.
B.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
C.当时，有且只有一个零点
D.在上单调递增
12、在三棱柱中，是边长为的等边三角形，侧棱长为，则( )
A.直线与直线之间距离的最大值为3
B.若在底面ABC上的投影恰为的中心，则直线与底面所成角为
C.若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB与所成的角为
D.若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为
三、填空题
13、已知i是虚数单位，复数，则________.
14、若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有项的系数为________.
15、设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数m的取值范围是________.
16、如图所示，在平面直角坐标系中，，圆Q过坐标原点O，圆L与圆Q外切.则(1)圆L的半径等于________；(2)已知过点L和抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B，且，则________.
四、解答题
17、在①，②，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.
已知正项数列的前n项和为，________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且，求数列的前n项和.
18、在如图所示的平面图形中，，，，AE与BC交于点F，若，.
(1)用表示AE，AF；
(2)求取最大值时的值.
19、如图，在直角梯形ABED中，，，，，.将矩形BEDC沿BC翻折，使得平面平面BCED.
(1)若，证明：平面平面ACE；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
20、魔方(Rubik'sCube)，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克(RubikErnő)教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.
(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：
现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1)?
参考数据：
(其中)；
参考公式：
对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望.
21、已知函数的图象在处的切线斜率等于1.其中为自然对数的底数，a，.
(1)若，当时，证明：；
(2)若，证明：有两个极值点，，在上恰有一个零点，且.
22、已知O为坐标原点，椭圆的离心率，点P在椭圆C上，椭圆C的左右焦点分别为，，的中点为Q，周长等于.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)W为双曲线上的一个点，由W向抛物线做切线，，切点分别为A，B.
(ⅰ)证明：直线AB与圆相切；
(ⅱ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求外接圆面积的最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：全集，或，
集合，，
，故选B
2、答案：C
解析：，故选C.
3、答案：D
解析：，，当且仅当时才取到2，，的充要条件是.故选：D.
4、答案：A
解析：设该等比数列为，其公比为q，由题意知，，.
所以.因为，所以.解得或(舍去).当时，，解得.故选：A.
5、答案：C
解析：由题意知，双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
双曲线的焦点到渐近线的距离为，，解得，
，，即.故选：C.
6、答案：D
解析：函数的定义域为R，函数关于y轴对称，则函数为偶函数，
则C不成立，C函数的定义域为，排除C；
对于B，函数，则B函数为奇函数，不满足条件，排除B；对于A，函数中，恒成立，不存在负值，排除A.故选：D.
7、答案：A
解析：A：若，，则，故A正确；
B：若，则或者与相交，故B错误；
C：若，，则或者，故C错误；
D：若，，则l与相交，平行或者，故D错误.故选：A.
8、答案：B
解析：因为，所以，，所以，
，
所以每张芯片获得奖励的数学期望为
(元).故选：B.
9、答案：ABD
解析：已知，，，由，
得，即，所以A正确；又
，所以B正确，
由，所成的角为，则，，，所以C不正确，D正确.故选：ABD
10、答案：BCD
解析：对于A，对于，有，，不恒成立，则不是奇函数，A错误；
对于B，对于，若x为整数，则也是整数，则有，
若x不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，是偶函数，B正确；
对于C，若x为整数，，x不为整数时，，
总之是整数，则，C正确；
对于D，若x为整数，则也是整数，
若x不为整数，则也不为整数，总之有，的周期为1，
若也是的周期，
而x和可能一个为整数，另一个不是整数，则有，故的最小正周期为1，D正确.
11、答案：ACD
解析：由题意，函数图象的两宗相邻的对称轴之间的距率为，，可得，
因为，则，解得，即，解得，，因为，所以，即函数的解析式，所以A正确.
对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到
的图象，所以B不正确；
对于C中，由，所以，当时，函数，所以C正确；对于D中，当时，，根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递增，所以D正确.故选：ACD.
12、答案：AD
解析：如图所示
以A为原点，AC所在直线为y轴，以平面ABC内过点A垂直于AC的直线为x轴，以过点A垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，设，，，
所以，，，
A，设为直线与直线的公垂线的方向向量，令，得：，设直线与直线之间距离为d，则，，
，，即，故A正确；
B，若在底面ABC上的投影恰为的中心，
则，因为底面ABC的法向量，，设直线与底面ABC所成角为，则，故B错误；
C，三棱柱的侧棱垂直于底面时，则，，，
则，，设异面直线AB与所成的角为，则，故C错误，
D，若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心，O为上下底面中心连线的中点，所以外接球的半径，所以，故D正确.故选：AD.
13、答案：
解析：略
14、答案：80
解析：令，可得，解得：，所以的展开式通项为：，令可得，所以该二项式展开式中含有项的系数为80.故答案为：80.
15、答案：
解析：由，得，得，且.
作出函数的图象如图，
由图可知，要使方程有两个不等实根，则实数m的取值范围是.故答案为：.
16、答案：，2
解析：由已知可得圆Q的半径为，设圆L的半径为R，因为圆Q与圆L外切，
则，即
解得；由抛物线方程可得焦点F的坐标为，则过点和F的直线的斜率，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，设，，则，，所以
，又，解得.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)选①时，当时，，因为，所以，
由，①
可得，②
得，，
整理得，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以；
选②时，
因为①
所以当时，②
得：，即
①中，令，得，适合上式
所以当时，
又，
所以对任意，
(2)因为即
所以，
于是，
③
④
得
所以.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由题知在中，由余弦定理知：
所以，且
在中，因为，，所以
由正弦定理知：，所以
在中，
(2)由(1)知：，
所以
因为，所以
当时，即时，取最大值1
所以，取最大值时，
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接BD，因
所以
因为平面平面BCDE，平面平面，
所以平面BCDE
因为平面BCDE，所以
因为，所以平面ACE
因为平面ABD，所以平面平面ACE
(2)在中，设，，
所以，
当且仅当，即时，三角形ABC面积有最大值为4
因为平面平面BCDE，平面平面，
平面BCDE，所以平面ABC
所以
所以，当时，三棱锥体积的最大值为
因为，所以平面ABC.
以C为坐标原点，以CA，CB，CD所在
直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，
，
平面ABC的法向量，
设平面ADE的法向量，，所以，
取，则，，即，
所以，
故平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.
20、答案：(1)13秒
(2)分布列见解析，
解析：(1)由题知：
所以，
因此y关于x的回归方程为：
所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒
(2)由题知：X的取值为3，4，6，9
所以X的分布列为
所以
21、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由题知：
所以，所以
若，则，由得，即证
设，因为
设，则
因此在上单调递增，所以
因此在上单调递增，所以
所以，即
(2)令，则
所以，当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以
由于，所以
又因为，，
所以有且仅有两个零点，设为
所以当时，；在上单调递增；
当时，；在上单调递减；
当时，；在上单调递增；
又因为
所以有且仅有两个极值点且在上恰有一个零点
因为，，；；
所以
令，
则.所以在上单调递增，所以
因此，即，
22、答案：(1)
(2)
解析：(1)设，因为Q为的中点
所以周长
所以
解得，
所以，椭圆C的标准方程为
(2)(ⅰ)由得，求导得，
设，，则，即；
同理：
设，因为W为，的交点，所以，，
由题直线AB的斜率存在，设其方程为，
将代入得：
由韦达定理得，，，
所以，，
因为，所以
所以圆心O到直线AB的距离
所以，直线AB与圆相切
(ⅱ)将与联立得：
由韦达定理得，，
因为
所以，所以
又因为
所以
方法一：
由(ⅰ)知：方程的且
解得或
所以
令，所以或者
可以看出当时，即时，有最大值，且最大值为
所以外接圆直径MN的长度最大值为，
所以外接圆面积的最大值等于
方法二：
由(i)知：方程的且
所以或
所以
等号当仅当，即(舍)
所以外接圆直径MN的长度最大值为，
所以外接圆面积的最大值等于
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
184.5
0.37
0.55
X
3
4
6
9
P