2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三上学期10月期中考试数学理试题含答案

  2023届高三高考实用性考卷（二)

数学试题（理科）

注意事项:

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，任取一个元素，则的概率为

A． B． C． D．

2．复数（为虚数单位），若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

3．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（    ）

A． B． C． D．

4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（    ）

A．0 B． C． D．

5．若满足，且的最小值为，则的值为

A． B． C． D．

6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则的值为(　　)

A． B．－ C．ln2 D．－ln2

7．若向量与平行，则点和点间距离的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰､两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给､两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（    ）

A．9 B．18 C．19 D．20

9．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为（    ）

A．2 B．3 C．3 D．2

10．已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为

A． B． C． D．

11．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

12．关于函数有下述四个结论：

①的图象关于直线对称    ②在区间单调递减

③的极大值为0                ④有3个零点

其中所有正确结论的编号为（    ）

A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．给出下列条件与：

①：或；：．

②：，：．

③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等．

其中是的必要不充分条件的序号为______．

14．在的二项展开式中，项的系数等于___________.

15．已知向量=(1，0)，=(2，－2)，=(1，)，若，则=________.

16．如图，三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，若以线段为直径的球过点，则球心到平面的距离为________．

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10 分）

已知数列的前项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）

理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．

（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）

（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：

规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，， ，分别为，的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

设函数．

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，

求证：

21．（本小题满分12分）

已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若区间为不等式的解集的子集，求a的取值范围．

参考答案

1．D

2．D

3．D

4．A

5．C

6．D

7．A

8．B

9．D

10．D

11．B

12．D

13．②

14．

15．－##－0.5

16．1

17．（1），（2）

【详解】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；

（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.

试题解析：（1）∵，∴，

∴，

当时，，又也满足，故.

又，∴.

（2）∵，

∴.

18．(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.

【详解】试题分析：

(Ⅰ)由题意可得，如果按照性别比例分层抽样，可以得到个不同的样本;

(Ⅱ) X可能取值为0，1，2，3，据此求得分布列，结合分布列可得数学期望为 .

试题解析：

（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，

从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到个不同的样本．

（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，

抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，

则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．

其X分布列为：

数学期望E（X）=0+1×+2×+3×=．

19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）因为△是边长为的正三角形, 所以．

又因为，分别为，的中点，

得，

因为， 所以．

故平面．

（Ⅱ）取得中点，连接．

因为，所以．

又因为平面，

所以，

所以平面．

所以为与平面所成的角．

在直角三角形中，，,

所以．

所以与平面所成的角的正弦值为．

20．（1）；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.

【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.

【详解】（1），令，得

因为当时；当时，

所以当时，

（2），

①当时，恒有，在上是增函数；

② 当时，

令，得，解得；

令，得，解得，

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上单调递增，在上单调递减

 (3) ．

要证，即证，等价于证，令，

则只要证，由知，故等价于证 (*)．

① 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

② 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

由①②知(*)成立，得证．

21．(1)

(2)存在定圆始终与直线相切.

【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存时，直线AB的方程，再考虑斜率存在时，设出直线AB的方程，利用得到的关系式，再利用点到直线距离公式得到原点到直线AB的距离为定值，验证斜率不存在时是否符合，最后求出答案.

(1)

由题意得：，故，

又在椭圆上，故

联立得：，故，

椭圆方程为

(2)

当直线AB斜率不存在时，因为，

不妨设直线OA，OB的斜率分别为1，-1，

联立y=x与，解得：，

求得：直线AB为

当直线AB斜率存在时，设直线AB：

联立得：，

设，

则，

因为，

所以

所以，

由原点到直线AB的距离，

存在定圆始终与直线相切，

显然当直线斜率不存在时，满足要求，

综上：存在定圆始终与直线相切

22．(1) 曲线的方程为，直线的参数方程为 （为参数）(2)

【分析】(1)利用极坐标的公式代入以及直线的参数方程可的结果；

（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程化简可得关于t的一元二次方程，题目所求的就相当于代入求得结果.

【详解】（1）由题意得，即

故曲线的方程为，点的直角坐标为,

直线的参数方程为 （为参数）

（2）设，，将直线的参数方程代入曲线的方程得

整理得，由韦达定理可知，，

则

，

23．(1)；

(2).

【分析】（1）利用零点讨论法即得；

（2）由题可得当时，恒成立，进而可得，即求.

(1)

当时，函数，

可表示为，

由，则或或，

解得：或或，

故不等式的解集为．

(2)

由区间为不等式的解集的子集，

即当时，恒成立，

又时，，，故，，

不等式等价于，解得，

又因为当时不等式恒成立，所以，解得．

故a的取值范围为．