2022-2023学年安徽省怀宁县高三上学期12月第一次模拟考试数学试卷（word版）

怀宁县2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟考试

数   学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合，则等于（    ）

A．   B．   C． D．

2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知等差数列的前项和为，,则使取得最小值时的值为(  )

A．7 B．6 C．5 D．4

4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：

①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为

③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

4．新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有(   )  种不同安排方法．

A.114              B.125               C.96              D.72

5.已知函数有且仅有两个不同的零点,则（　　）

A．当时,, B．当时,,  

C．当时,, D．当时,,

6．在长度为1的线段上任取A、B两点，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，则的最小值是（    ）.

A．1 B． C．2 D．

10．已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（　　）

A． B． C． D．

11．下列大小关系正确的是（  ）

A.         B.         C.        D.

12．若等边边长为2，边的高为，将沿折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

第II卷 非选择题部分（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13．若曲线f（x）＝excosx﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m＝_____．

14． 的展开式中的系数为__________.（用数字作答）

15．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．

16．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.   

17．（12分）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N*.

(1)求证：数列为等比数列．

(2)求数列{an}的通项公式.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求角；

（2）若，边上的中线，求边的长.

19．如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.面，且.在棱上，且，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．

（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；

（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．

21．（12分）已知函数 =x﹣1﹣alnx．

（1）若 ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

22．已知点F是抛物线C：的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点．

（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；

（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值．

2022-2023学年安徽省怀宁县高三上学期12月第一次模拟考试

数学

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】D

5.【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】B

12．【答案】C

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13．【答案】2

14．【答案】

15．【答案】0.915

16．已知双曲线的右焦点为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，在第一象限，线段交双曲线于点，如果，则双曲线的离心率等于________.

【答案】

【解析】

由题意知，与渐近线 垂直，则斜率为，因为，

则直线方程为，与联立得 ，解得 ，

即，由，可得，因为在双曲线上，则

，整理得，，即.

故答案为: .

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ），

，

由正弦定理可得：，，

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

，，由正弦定理得：，

由，故为锐角，，

．

【答案】（1）证明见解析；是，，，，；（2）.

【解析】

证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，

又，，平面，面，四棱锥为阳马，

四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.

（2），由（1）知阳马的体积：

，当且仅当时，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，

，，

设平面的法向量，则，取，得，   

设平面的法向量，则，取，得，

设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，

当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.

19．【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）设，圆的半径

圆到直线的距离

由于圆被直线截得弦长为，所以

即，化简得，

所以点的轨迹方程为．

（2）由知（或）

解法一：设直线的方程为

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直线方程为恒过定点

三角形面积

当时，

所以三角形面积的最小值为16．

解法二：设

直线的方程为，则直线的方程为

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面积

下面提供两种求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

当且仅当即时，

所以三角形面积的最小值为16．

思路2：用导数

不妨设，则，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增

所以当时，

所以三角形面积的最小值为16．20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，

，

，

（2）由（1），，

同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：

∴，

∵，，

∴，，∴，

代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．

∴．

21.（Ⅰ），

当时，，，，无零点；

当时，，，单调递减，

又，，有唯一零点；

当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，

而，，故有，

在是增函数，，

即；

（ii）由（i）知：，，

，由在递增得：，当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即，结论成立；

当为奇数时，设，

，，

从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，

即，结论也成立．综上，对一切，成立．

18.证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，

又，，平面，面，四棱锥为阳马，

四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.

（2），由（1）知阳马的体积：

，当且仅当时，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，  

设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为

19.（1）设，圆的半径

圆到直线的距离

由于圆被直线截得弦长为，所以

即，化简得，

所以点的轨迹方程为．

（2）由知（或）

设直线的方程为

由消去得即，

由即，即由于，所以，所以解得所以直线方程为恒过定点三角形面积当时，

20.（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，，

，

，

（2）由（1），，

同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，，，则，，，，由此得甲的得分的分布列为：

∴，

∵，，

∴，，∴，

代入得：，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，∴．

∴．

21.（Ⅰ），

当时，，，，无零点；

当时，，，单调递减，

又，，有唯一零点；

当时，，，又，，有唯一零点；综上所述：在有两个零点．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，又，，，，可知，，同理在有极小值点，…，在有极值点．由得：，，，，，

而，，故有，

在是增函数，，

（2）取中点，连接，∵是的菱形，

∴，又面，

∴分别以、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示.

则、、、、.

∴、.

设面的一个法向量，

则由可得，

不妨令，则解得，，

∴.

显然面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为.

18．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.

试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（2）由（1）知：，所以，

因为当时，，所以，于是=，

所以.

19．（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】

（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；

（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.

【详解】

解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．

设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，

所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．

（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，

则，

则随机变量的取值为．

，

，

，

所以X的分布列为

所以随机变量的数学期望为．

【点睛】

本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：
（1）每次给药相互独立；

（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.

20．（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）3.

【分析】

（Ⅰ）解法一：，设，写出直线PA，PB的方程，然后由点P在PA，PB上，得到直线AB的方程求解；解法二：，设AB直线方程 为，联立，分别写出过A和过B的切线方程，求得点p的坐标，再由点P在直线上求解；

(II)由(I)知，代入C：得，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可．

【详解】

（Ⅰ）解法一：，

设，则即

同理．

又P在PA，PB上，则，

所以．

所以直线AB过焦点F．

解法二：，

设AB直线方程 为，

则由，得，

所以，

过A的切线方程为，

过B的切线方程为，

所以交点P的坐标为

因为P在直线上，所以，

所以即直线过焦点F．

(II)由(I)知，代入C：得，

则，

则，

P到AB的距离，所以，

由（Ⅰ）知，则，

所以，令，

则，

，则成立，

所以在上是增函数，

所以的最小值是3，即四边形ABRQ面积的最小值为3．