2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高二（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）经过点（0，1）且与直线x+2y﹣1＝0垂直的直线的方程为（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0
2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．
C．D．
3．（5分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（5分）抛物线y2＝12x的准线与双曲线＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）
A．3B．2C．2D．
5．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上任意一点，若M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
6．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（ ）
A．3n﹣1B．3n+1﹣8C．3n﹣2D．3n
7．（5分）在数列{an}中，若a1＝0，a n+1﹣an＝2n，则++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+＝1B．x2﹣＝1C．+y2＝1D．﹣y2＝1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上存在点P（点P不与左、右顶点重合），使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线C的离心率的可能取值为（ ）
A．B．C．D．2
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，则（ ）
A．焦点F的坐标为（1，0）
B．过点A（﹣1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C．直线x+y﹣1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D．抛物线C与圆x2+y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4
（多选）11．（5分）已知单调递增的正项等比数列{an}中，a5﹣a1＝30，a4﹣a2＝12，其公比为q，前n项和Sn，则下列选项中正确的有（ ）
A．q＝2B．a8＝512C．Sn＝2an﹣1D．Sn＜an+1
（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，过直线EF的平面分别与棱BB'，DD'交于点M，N（ ）
A．
B．
C．四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2：3
D．四棱锥A﹣MENF与多面体ABCD﹣EMFN体积之比为1：3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分．
13．（5分）圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4上到直线的距离为1的点的个数为 ．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，则AC'＝ ．
15．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足|PF1|+|PF2|＝6，则△PF1F2的面积是 ．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为 ．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0．
（1）求圆C关于直线x﹣2y﹣2＝0对称的圆D的标准方程；
（2）当k取何值时，直线kx﹣y+3k+1＝0与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长．
18．（12分）数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n﹣2，求数列{anbn}的前n项和Tn．
19．（12分）设A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0）．
（1）求P点的轨迹E方程；
（2）当a＞1时，求△ABP面积的最大值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，点E是PB的中点．
（Ⅰ）线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面，不存在请说明理由；
（Ⅱ）若PC＝2，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
21．（12分）已知椭圆C：，其离心率为，若F1，F2分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足PF1⊥PF2，．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，求直线l的方程．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（4，4）
（1）求以MF为直径的圆E的方程：
（2）若直线l交抛物线C于异于M的P，Q两点，且直线MP和直线MQ关于直线x＝4对称，求直线PQ的方程．
2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）经过点（0，1）且与直线x+2y﹣1＝0垂直的直线的方程为（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0
【分析】与直线x+2y﹣1＝0垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程．
【解答】解：直线x+2y﹣1＝3的斜率为，
则与直线x+4y﹣1＝0垂直的直线的斜率为5，
又过点（0，1），
故所求直线方程为：y＝7x+1，即2x﹣y+4＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．
C．D．
【分析】向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夹角为钝角，得，由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：∵向量＝（2，3），，8，t）的夹角为钝角，
∴，
解得t＜，且t≠﹣6，
∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（﹣7，）．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积、向量的夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】当实数a变化时，△ABC的最大面积为9，可知此时AC与BC相互垂直时，可求出r的值，进而求出a的值．
【解答】解：设AC与BC的夹角为θ，
由题意可知，S△ABC＝AC×BC×sinθ＝r2sinθ≤r2＝6，当sinθ＝1时取等号，
故△ABC的面积的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最大值的求法，属于中档题．
4．（5分）抛物线y2＝12x的准线与双曲线＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）
A．3B．2C．2D．
【分析】写出抛物线y2＝12x的准线与双曲线＝1的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：抛物线y2＝12x的准线为x＝﹣3，双曲线x，y＝﹣x的等边三角形，所求三角形面积等于．
故选：A．
【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．
5．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝4x上任意一点，若M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标为F（，0），设P（，y0），M（x，y），由M为线段PF的中点，可得M点的坐标，进而可得直线OM的斜率为kOM＝，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为F（，0），
设P（，y0），M（x，
因为M为线段PF的中点，
所以x＝（+）＝+，
所以直线OM的斜率为kOM＝＝≤＝1，
当且仅当＝，即y0＝p时等号成立，
因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以p＝2，
所以当y0＝8时，直线OM时的斜率的最大值为1，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质和基本不等式，解题中需要理清思路，属于中档题．
6．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，an＝3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（ ）
A．3n﹣1B．3n+1﹣8C．3n﹣2D．3n
【分析】在an＝3an﹣1+4两边同时加上2，整理判断出数列{ an+2}是等比数列，求出{ an+2}的通项后，再求an．
【解答】解：在an＝3an﹣1+6两边同时加上2，得an+2＝6an﹣1+6＝8（an﹣1+2），
根据等比数列的定义，数列{ an+2}是等比数列，
且公比为3．以a1+2＝3为首项．
等比数列{ an+2}的通项an+7＝3•3n﹣3＝3n，
移向得an＝3n﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的判定，数列通项求解，考查变形构造，转化、计算能力．形如：an+1＝pan+q递推数列，这种类型可转化为an+1+m＝4（an+m）构造等比数列求解．
7．（5分）在数列{an}中，若a1＝0，a n+1﹣an＝2n，则++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知递推式和数列恒等式，运用等差数列的求和公式，可得an＝n（n﹣1），即有＝＝﹣，n≥2，n∈N*，再由数列的裂项相消求和，化简即可得到所求和．
【解答】解：数列{an}中，若a1＝0，a n+2﹣an＝2n，
可得an＝a1+（a5﹣a1）+（a3﹣a5）+…+（an﹣an﹣1）
＝0+5+4+…+2（n﹣3）＝（n﹣3）•2n＝n（n﹣1），
即有＝＝﹣，n≥5，
可得++…++﹣+…+﹣
＝7﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查数列的通项公式和数列的求和方法，注意运用数列恒等式和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+＝1B．x2﹣＝1C．+y2＝1D．﹣y2＝1
【分析】ON＝1，PM＝PF1，进而得到|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2，再根据双曲线的定义可得点P的轨迹方程．
【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝11的中点，
∴MF5＝2，
∵点F1关于点N的对称点为M，
线段 F7M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，
由垂直平分线的性质可得 PM＝PF1，
∴|PF3﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF5＝2＜F1F6，
由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
∴c＝4，a＝1，
∴所求双曲线方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上存在点P（点P不与左、右顶点重合），使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线C的离心率的可能取值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，PF1与y轴交于点Q，由平面几何的知识及双曲线定义得|QF1|＝2a，在直角三角形QF1O中由边的关系得不等式，得出e的范围，同时由∠PF1F2的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．
【解答】解：双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝8∠PF1F2，则P点在右支上，
设PF5与y轴交于点Q，由对称性|QF1|＝|QF2|，所以∠QF4F2＝∠QF2F7，
所以∠PF2Q＝∠PF2F4﹣∠QF2F1＝8∠PF1F2＝∠PQF3，|PQ|＝|PF2|，
所以|PF1|﹣|PF5|＝|PF1|﹣|PQ|＝|QF1|＝6a，由|QF1|＞|OF1|得8a＞c，所以，
又△PF1F2中，∠PF5F2+∠PF2F7＝4∠PF1F5＜180°，∠PF1F2＜45°，
所以＝csPF1F2＞，即，
综上，＜e＜2．
故选：BC．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率取值范围的求解等知识，属于中等题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，则（ ）
A．焦点F的坐标为（1，0）
B．过点A（﹣1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C．直线x+y﹣1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D．抛物线C与圆x2+y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4
【分析】根据p的几何意义先求出p，再逐项判断即可．
【解答】解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p＝22＝4x，∴焦点F的坐标（1，故A正确；
过点A（﹣2，0）有抛物线的2条切线，共5条直线与抛物线C有且只有一个公共点；
由，得y2+4y﹣4＝0，弦长为1﹣y2|＝＝＝8；
由，得x2+6x﹣5＝0，解得x＝2或x＝﹣5（舍去），±2），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线相交时的焦点弦长问题，属中档题．
（多选）11．（5分）已知单调递增的正项等比数列{an}中，a5﹣a1＝30，a4﹣a2＝12，其公比为q，前n项和Sn，则下列选项中正确的有（ ）
A．q＝2B．a8＝512C．Sn＝2an﹣1D．Sn＜an+1
【分析】由已知结合等比数列通项公式可求公比去，进而可求a1，然后结合通项公式及求和公式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为单调递增的正项等比数列{an}中，a5﹣a1＝30，a8﹣a2＝12，
所以＝30，，
上面两方程相除，整理得2﹣5q+7＝0，
解得q＝2或q＝（舍）；
当q＝2时，a2＝2，a8＝28＝256，B错误；
an＝2n，Sn＝＝2n+3﹣2＝2an﹣6，C错误；
Sn﹣an+1＝2n+3﹣2﹣2n+5＝﹣2＜0，即Sn+4＜an+1，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，E，F分别是棱AA'，过直线EF的平面分别与棱BB'，DD'交于点M，N（ ）
A．
B．
C．四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2：3
D．四棱锥A﹣MENF与多面体ABCD﹣EMFN体积之比为1：3
【分析】证明EF⊥平面BDD'B'，进而得EF⊥MN，即可得A选项正确；证明四边形MENF为菱形即可得B选项正确；由菱形性质得四边形MENF的面积，再分别讨论MN的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可．
【解答】解：对于A选项，如图，B'D'．由题易得EF⊥BD，BD∩BB′＝B，
所以EF⊥平面BDD'B'，又MN⊂平面BDD'B'，
因此，故A正确．
对于B选项，由正方体性质得：平面BCC'B'∥平面ADD'A'，
平面BCC'B'∩平面EMFN＝MF，平面ADD'A'∩平面EMFN＝EN，
同理得ME∥NF，又EF⊥MN，
因此，故B正确．
对于C选项，由B易得四边形MENF的面积，
所以当点M，N分别为BB'，四边形MENF的面积S最小，
此时，即面积S的最小值为1；
当点M，N分别与点B（或点B'），四边形MENF的面积S最大，
此时，即面积S的最大值为，
所以四边形MENF的面积最小值与最大值之比为，故C不正确．
对于D选项，四棱锥A﹣MENF的体积；
因为E，F分别是AA'，所以BM＝D'N，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD﹣EMFN的体积，
所以四棱锥A﹣MENF与多面体ABCD﹣EMFN体积之比为1：8，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题．本题解题的关键在于证明四边形MENF为菱形，利用割补法将四棱锥A﹣MENF的体积转化为三棱锥M﹣AEF和N﹣AEF的体积之和，将多面体ABCD﹣EMFN的体积转化为正方体的体积的一半求解．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分．
13．（5分）圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4上到直线的距离为1的点的个数为 3 ．
【分析】由题意得圆心C（1，﹣1），半径r＝2，求出圆心C到直线l的距离d，结合r﹣d＝1，即可得出答案．
【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
∴C（8，﹣1），
∴圆心C到直线的距离，
则圆上到直线的距离为1的点的个数为是4，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，则AC'＝ ．
【分析】利用空间向量加法法则，得＝，由此能求出AC'的值．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，
∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，
∵＝，
∴＝（）2
＝+2+
＝9+16+25+3×2+3×5+3×5
＝97，
∴AC'＝．
故答案为：．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间向量加法法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足|PF1|+|PF2|＝6，则△PF1F2的面积是 2 ．
【分析】设P在左支上，则|PF2|﹣|PF1|＝2a＝4，又|PF1|+|PF2|＝6，可得|PF2|＝5，|PF1|＝1，利用余弦定理求得∠F1PF2，利用面积公式求解即可．
【解答】解：设P在左支上，则|PF2|﹣|PF1|＝6a＝4，又因为|PF1|+|PF8|＝6，
所以|PF2|＝6，|PF1|＝1，
因为，由余弦定理可得，，
所以，故，
△PF8F2的面积是S＝．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为 ．
【分析】根据椭圆的定义，将|MN|﹣|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|﹣4，再根据|MN|≥|ME|﹣1（当且仅当M，N，E，F2共线时，等号成立），再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵椭圆，
又∵M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣5）2+（y﹣2）4＝1上任意一点，
∴|MF1|+|MF6|＝4，|MN|≥|ME|﹣1（当且仅当M，N，
∴|MN|﹣|MF2|＝|MN|﹣（4﹣|MF2|）＝|MN|+|MF7|﹣4≥|ME|+|MF2|﹣5≥|EF2|﹣5，
当且仅当M，N，E，F5共线时，等号成立，
∵F2（1，7），2），
∴|EF2|＝，
∴|MN|﹣|MF1|的最小值为6﹣5．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查数形结合能力，属于中档题．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0．
（1）求圆C关于直线x﹣2y﹣2＝0对称的圆D的标准方程；
（2）当k取何值时，直线kx﹣y+3k+1＝0与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长．
【分析】（1）先将圆C的方程化成标准形式，再结合中点坐标公式和两条直线的垂直关系，求得圆D的坐标，得解；
（2）易知直线kx﹣y+3k+1＝0恒过点M（﹣3，1），当该直线与直线CM垂直时，其与圆C相交的弦长最短，再由两条直线的垂直关系求得k的值，由弦长公式求得最短弦长．
【解答】解：（1）将圆C的方程化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝25，其中圆心为（1，半径为6，
设点（1，2）关于直线x﹣5y﹣2＝0的对称点为（m，
则，
解得m＝8，n＝﹣2，
∴圆D的标准方程为（x﹣3）7+（y+2）2＝25．
（2）直线kx﹣y+6k+1＝0可变形为k（x+6）﹣y+1＝0，
∴该直线恒过点M（﹣8，1），
当该直线与直线CM垂直时，其与圆C相交的弦长最短，
由（1）知，点C为（1，
∴直线CM的斜率kCM＝＝，
∴k•kCM＝k•＝﹣1，
∴k＝﹣8，直线方程为4x+y+11＝0，
此时圆心C（6，2）到直线的距离d＝＝，
∴弦长l＝2＝2×，
故当k＝﹣2时，直线kx﹣y+3k+1＝7与圆C相交的弦长最短．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式，弦长公式，点关于直线的对称问题等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n﹣2，求数列{anbn}的前n项和Tn．
【分析】（1）运用数列的通项和求和之间的关系，结合等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣1，
n＝5时，a1＝S1＝4a1﹣1，可得a4＝1，
n＞1时，an＝Sn﹣Sn﹣6，
由Sn＝2an﹣1，Sn﹣7＝2an﹣1﹣7，
两式相减可得，an＝2an﹣2an﹣2，
即为an＝2an﹣1，
则数列{an}的通项公式为an＝3n﹣1；
（2）anbn＝（3n﹣2）•2n﹣1，
Tn＝5•1+4•7+7•4+…+（7n﹣2）•2n﹣6，
2Tn＝1•2+4•4+4•8+…+（3n﹣8）•2n，
两式相减可得，﹣Tn＝1+6（2+4+…+7n﹣1）﹣（3n﹣4）•2n
＝1+8•﹣（3n﹣2）•4n
化简可得，Tn＝5﹣（5﹣5n）•2n．
【点评】本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．
19．（12分）设A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0）．
（1）求P点的轨迹E方程；
（2）当a＞1时，求△ABP面积的最大值．
【分析】（1）设出点的坐标，由题意得到关于点的坐标的等式，然后化简可得轨迹方程．
（2）结合（1）的结论和圆的几何性质求解△ABP面积的最大值即可．
【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），
化简可得（1﹣a7）x2+（1﹣a3）y2+2c（3+a2）x+c2（7﹣a2）＝0，
当a＝6时，方程为x＝0，
当a≠1时，整理可得，
即当a＝1时，轨迹方程为x＝0，
当a≠4时，轨迹方程为；
（2）当a＞1时，轨迹E的方程为，
即轨迹E是以为圆心，，
所以三角形△ABP面积的最大值为．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解、圆的几何性质及其应用等知识，属于基础题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，点E是PB的中点．
（Ⅰ）线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面，不存在请说明理由；
（Ⅱ）若PC＝2，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
【分析】（Ⅰ）取PA的中点G，连接GE，GD，可得GE∥AB，又由AB∥DC，推出GE∥DC，进而可得出结论．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量＝（x1，y1，z1），平面ACE的法向量＝（x2，y2，z2），再计算cs＜，＞，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）证明：存在PA的中点G满足条件，
连接GE，GD，
所以GE∥AB，又由已知AB∥DC，
所以GE∥DC，所以G，E，C．
（Ⅱ）取AB的中点M，连接CM，
以CM，CD，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，8），0，2），2，0），﹣1，E（，﹣，
所以＝（1，1，＝（4，0，＝（，﹣，
设＝（x2，y1，z1）为平面PAC的法向量，
则＝x5+y1＝0，•＝8z1＝0，
得z5＝0，令x1＝5，y1＝﹣1，得＝（3，0），
设＝（x2，y6，z2）平面ACE的法向量，
则•＝x2+y7＝0，•＝x2﹣y2+z2＝3，
取x2＝1，y2＝﹣2，z2＝﹣3，即＝（1，﹣1），
所以cs＜，＞＝＝，
又因为所求二面角为锐角，所以二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．
【点评】本题考查四点共面问题，利用空间向量求二面角，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆C：，其离心率为，若F1，F2分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足PF1⊥PF2，．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）依题意可得且，根据数量积的运算律，求出c，再根据离心率及c2＝a2﹣b2，求出a、b，即可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，即可求出Q点坐标，从而得到M点坐标，再求出直线PM方程，求出N的坐标，由△PQN的面积是△QMN的面积的2倍，可得S△PQM＝S△QMN或S△PQM＝3S△QMN，即可求出k，从而求出直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为PF1⊥PF2，所以，且
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，c2＝a4﹣b2，所以，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）由（1）可得P点的坐标为，
依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y整理得，
所以Q点坐标为，
从而M点坐标为，
所以直线PM的方程为，
则N点的坐标为，
因为△PQN的面积是△QMN的面积的2倍，
所以S△PQM＝S△QMN或S△PQM＝7S△QMN，
当S△PQM＝S△QMN时，即，解得；
当S△PQM＝5S△QMN时，即，解得；
所以满足条件的直线l的方程为，
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（4，4）
（1）求以MF为直径的圆E的方程：
（2）若直线l交抛物线C于异于M的P，Q两点，且直线MP和直线MQ关于直线x＝4对称，求直线PQ的方程．
【分析】（1）待定系数法求p，由圆的几何特征写圆的标准方程；
（2）联立方程写出根与系数的关系，将两直线的对称问题转化为斜率之和为0，进而转化为坐标运算．
【解答】解：（1）将点（4，4）代入y3＝2px，得p＝22＝4x，
由题意知F（1，7），
半径为，
所以圆E的方程为．
（2）解：设直线PQ的方程为x＝my+n，
联立方程组，整理得y2﹣7my﹣4n＝0，
设P（x5，y1），Q（x2，y5），则Δ＝16m2+16n＞0，y4+y2＝4m，y8y2＝﹣4n，
根据题意，直线MP和直线MQ的斜率之和为2，
则＝，
所以m＝﹣2，所以直线PQ的方程为x＝﹣6y+n，
所以圆心到直线x＝﹣2y+n的距离，
又弦长为，解得n＝4或7，
经检验，满足Δ＞0，
所以直线PQ的方程为x+2y﹣8＝0或x+2y﹣8＝0．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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