2022-2023学年福建省厦门市厦门外国语学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门市厦门外国语学校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.

【详解】因为命题，所以为.

故选：C

【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据自然数的定义，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：C

3．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.

【详解】解：解不等式，得或，

又，

所以“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A.

4．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得.

【详解】由指数函数的单调性可得，，

，所以.

故选：D

5．设实数、满足，，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】由已知得，，，故，

故选：B.

6．已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】不等式，等价于或，再根据函数的单调性及奇偶性得出函数的正负情况，即可得出答案.

【详解】解：因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，又，

所以，

则当时，，

当时，，

不等式，

等价于或，

解得或，

所以的解集是.

故选：C.

7．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断.

【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或，

由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称，

对A，当时，，，所以，故A错误；

对B，由图知，当时，，当时，

结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确；

对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；

对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误.

故选：B.

8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． 或  C． D．或

【答案】D

【分析】不等式有解，只需的最小值小于即可

【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，取得最小值4．由有解，可得，解得或．

故选：D．

二、多选题

9．已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.

【详解】由图可知.

故选：AB

10．下列说法正确的是（    ）

A．当，不等式恒成立

B．当时，的最小值是5

C．若不等式的解集为，则．

D．若，且，则

【答案】BC

【分析】根据基本不等式的条件即可判断A；利用基本不等式即可判断B；根据不等式的解集可得，且方程的两根为，从而可判断C；利用作差法即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，

则，

当且仅当即时，取等号，

所以当时，的最小值是5，故B正确；

对于C，若不等式的解集为，

则，且方程的两根为，

所以，即，故C正确；

对于D，，

因为，且，

所以，所以，故D错误.

故选：BC.

11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数有3个单调区间 B．当时，

C．函数有最小值 D．不等式的解集是

【答案】BC

【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.

【详解】解：当时，，因为时，

所以，又因为是定义在上的偶函数

所以时，

即

如图所示：

对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；

对B，由上述分析知，当时，，故B正确；

对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；

对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.

故选：BC.

12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上是减函数

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.

【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；

对于B，令，得，所以，

任取，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是减函数，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以等价于，

又在上是减函数，且，所以 ，

解得，故D正确,

故选:ABD．

三、填空题

13．写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】直接由幂函数和单调性求解即可.

【详解】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.

故答案为：（答案不唯一）.

14．______

【答案】##

【分析】根据根式的性质及分式指数幂的运算法则计算可得；

【详解】解：

故答案为：

15．已知函数，若，则______.

【答案】

【分析】解析式中，是奇函数，可利用奇函数性质求解.

【详解】令，

则，，

所以为奇函数，

所以，

故，解得,

所以.

故填.

【点睛】本题主要考查了函数奇函数的性质，属于中档题.

16．规定：函数，有限集合S，如果满足：当，则，且，，那么称集合S是函数的生成集．已知严格减函数，为不超过10的自然数，而且有一个6个元素的生成集S，则=_________；

【答案】10

【分析】利用生成集的定义和函数的单调性进行判断求解．

【详解】，因为在是严格递减的，所以，

设中最小数为，最大数为，则，

由，解得，

，

∵函数定义域是，中至少有6个元素， ，

∴，∴，又，∴，

∵中有6个元素，∴一定有6个正因数，

在中有6个正因数的整数只有12，∴，

此时，，

∴，

故答案为：10．

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求集合；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式求得集合，再根据交集的定义即可得解；

（2）求出，再根据列出不等式即可得解.

【详解】（1）解：，，

若，，

所以；

（2）解：或，

因为，

所以或，解得或，

所以实数m的取值范围为.

18．已知二次函数，

(1)若不等式的解集为，求a、b的值.

(2)当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.

【答案】(1)a，b的值分别为

(2)

【分析】（1）根据题意可得1，2是方程的两个实数根，列方程，从而即可求出a与b的值；

（2）根据函数图象列不等式，进一步即可求出a的取值范围.

【详解】（1）根据题意，1，2是方程的两个实数根，

∴，解得，

∴a，b的值分别为；

（2）当时，，图象开口向下，

∵有一个根小于1，一个根大于1，

∴，整理得，解得，

所以实数的取值范围是.

19．已知定义域为的函数是偶函数．

(1)求实数a的值并用定义证明函数在上的单调性；

(2)解不等式．

【答案】(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数为偶函数可得，整理即可求得，再利用作差法即可证明函数的单调性；

（2）根据函数是偶函数且在上单调递增，可得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为定义域为的函数是偶函数，

所以，

即，

整理得，

所以，解得，

又，所以，

故，

令，

则

，

因为，所以，

所以，

所以，

所以函数在上单调递增；

（2）解：因为函数是偶函数且在上单调递增，

又，

所以，即，

解得，

故不等式的解集为.

20．已知幂函数在上单调递减．

(1)求m的值并写出的解析式；

(2)试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在使得在上的值域为

【分析】（1）利用幂函数的定义以及单调性，列出关于的关系式，求解即可；

（2）求出的解析式，按照与0的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可．

【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，

所以，解得或（舍），所以；

（2）解：由（1）可得，，所以，

假设存在，使得在上的值域为，

①当时，，此时在上单调递减，则，无解，故不符合题意；

②当时，，显然不成立；

③当时，，在上单调递增，则，解得．

综上所述，存在使得在上的值域为．

21．某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为72元.

(1)求的值；

(2)给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.

【答案】(1)2

(2)(，)

(3)64元

【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.

(2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.

(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.

【详解】（1）依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，

则，即，解得，

所以的值是2.

（2）由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型，

从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中其它各组值均满足这个函数，

所以该函数的解析式为(，).

（3）由(1)知， ，由(2)知，，

于是得，

当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值(元)，

当时，在上单调递减，当时，取得最小值(元)，

显然，则当，时，(元)，

所以该商品的日销售收入的最小值为64元.

22．定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，．

(1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；

（2）当时，设函数的值域为，当时，设函数的值域为，由“v型函数”，分析可得，再分，和三种情况讨论，求出，再根据方程存在两个不相等的实数，求得的范围，再将所求用表示，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为在区间上具有单调性，

所以或，

解得或，

即实数的取值范围是；

（2）解：因为函数的对称轴，

所以函数在上递减，

当时，设函数的值域为，则，

当时，设函数的值域为，

因为函数是“型函数”，

由“型函数”的定义知：

①若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

②若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，

即且在上单调，

当时，，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意；

当时，在上单调递增，，

所以，则舍去），

综上，

则，

由方程，

当时，方程为，

因为，

所以方程有两个实数根，设为，

则，

所以方程有两个异号实数根，

故当时，方程有且仅有一个实数根，

当时，方程为，

又因方程存在两个不相等的实数，

所以，

即当时，方程一定有一个实数根，

即，所以，

由，得，则，

由，得，

则

，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

当时，，

当时，，

所以.

【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用表示，属于难题.