2021-2022学年上海市第三女子中学高一下学情期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市第三女子中学高一下学情期末数学试题

一、填空题

1．已知复数（为虚数单位），则的值为__________

【答案】

【分析】利用复数的运算法则即可得出结果.

【详解】解：由复数（为虚数单位），则.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题.

2．在复数范围内分解因式________．

【答案】

【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；

【详解】解：

故答案为：

3．若向量，且与垂直，则实数_______．

【答案】

【分析】利用两向量垂直，数量积等于零的坐标运算计算即可.

【详解】由题可知，得，解得

故答案为：

4．若，则_______．

【答案】

【分析】利用向量的夹角公式直接求解.

【详解】因为向量，，所以.

因为，所以.

故答案为：

5．若，则在上的数量投影为_______．

【答案】6

【分析】利用向量的投影公式即可求解.

【详解】在上的数量投影为：

.

故答案为：6.

6．设向量、满足，则_______．

【答案】2

【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可.

【详解】，故.

故答案为：2

7．若等差数列中，，则数列的通项公式为_______．

【答案】

【分析】根据题意，求出首项和公差，利用等差数列的通项公式，计算求解即可.

【详解】，可得公差，，

，

故答案为：

8．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.

【答案】

【分析】由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..

【详解】用数学归纳法证明等式时,

当时，左边所得的项是;

假设时,命题成立,左端为;

则当时,左端为,

 所以从“”需增添的项是.

故填:.

【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.

9．在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.

【答案】

【分析】根据复数的几何意义写出点的坐标，求出旋转后对应点的坐标，得其对应复数．

【详解】复数对应的点，如图，绕原点按逆时针方向旋转到位置，，，∴，，即，点对应复数为．

故答案为：．

【点睛】本题考查复数的几何意义，旋转过程中线段长度保持不变，关键是求出新点对应的坐标，可得对应复数．

10．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围.

【详解】因为，所以设，

故

，其中，

因为，所以.

故答案为：.

11．若复数和复数满足，则_____．

【答案】

【分析】设，根据复数的运算即可求解.

【详解】设，

且，

则，

又，所以，

也即，则，

因为，

所以

故答案为：.

12．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.

【详解】因为是的中线，所以，

故，

因为，设，则，

所以，

故当时，取得最小值，最小值为，

当或3时，.

故答案为：.

二、单选题

13．若复数是纯虚数，则实数的值为

A．1 B．2 C．1或2 D．-1

【答案】B

【详解】由得，且，．

14．下列命题中，真命题的个数是（    ）

（1）若复数、，且，则或

（2）若复数、，且，则．

（3）若复数，则．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】对于（1），设出两个复数，利用复数乘法的计算法则，即可求解，对于（2）、（3），主要用举例的方法说明即可.

【详解】设、，且，，，均为实数.

对于（1），，则有，则有或，所以、中至少有一个为，（1）正确；

对于（2），若，，此时，但此时，故（2）错误；

对于（3），若，则，而，此时，（3）错误.

故选：B

15．下列命题中，真命题的个数是（    ）

（1）若数列是等比数列，则数列也是等比数列．

（2）若，则或．

（3）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】对（1）设即可判断结果，根据数量积公式可判断（2），根据数量积意义可判断（3）．

【详解】（1）设，则，故不是等比数列，则（1）是假命题；

（2）由，得或或，则（2）是假命题；

（3）设，，则，

而不一定成立，故（3）是假命题．

故选：A

16．无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，得到、的关系，再结合的范围即可求解.

【详解】设公比为，因为，所以，且，所以，所以，又因为，所以的范围是.

故选：D

三、解答题

17．已知等比数列的的前项和为，且，求的值．

【答案】

【分析】利用等比数列求和公式，结合以及的值，求出首项、公比，再利用求和公式即可求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，

则，，

两式相除得，从而解得，所以．

18．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；

（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】（1）的坐标为或；（2）

【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标；

（2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围．

【详解】（1）设点的坐标，由，

得，

因为点是直线上一点，且，

所以或，

即

或，

解得或，所以点的坐标为或；

（2）因为与的夹角为，

所以，

，

因为与的夹角为锐角，所以，即，

解得，又当与共线时有，解得，所以，

综上，实数的取值范围是．

19．关于的方程（）的两个根为，．

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)6

(2)或

【分析】（1）由得到，即可求解；

（2）分别讨论方程有两实数根或方程有两虚数根，即可求解.

【详解】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，

所以，所以.

（2）①当，即时，方程有两实数根，

所以，，

则，

解得；

②当，即时，方程有两虚数根，

即，不妨设，；

则

解得；

综上：实数的值为或．

20．解决下列问题

(1).已知等差数列的前项和为，首项，且，求取得最大值时的值；

(2).已知数列的通项公式为，试问:是否存在正整数、，使得成立?若有，求出、；若没有，说明理由．

【答案】(1)7或8

(2)答案见解析.

【分析】对于（1），由，可得，又，可知数列为递减数列，

则当，时，，据此可得答案；

对于（2），存在正整数、，使得.通过研究数列增减情况，找到最大值，与5比较大小即可得答案.

【详解】（1）因为为等差数列，且，

所以，

即，由，所以.

故当，时，；当时，.

所以最大，所以取得最大值时的值为7或8；

（2）因，则

故当，即，时，数列递增；

当，即，时，数列递减；

当，即时，有.

则，故数列中最大项为，

数列最小项不存在，当接近正无穷大时，无限接近于0.

则，其中接近正无穷大.

故不存在正整数、，使得成立

【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列前n项和的最值，及数列能成立问题，（1）较为基础，解决（2）问的关键，是能将存在正整数、，使得转化为找数列最大项与数列最小项的差值.

21．已知数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，求；

(3)记，若数列中去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用与的关系即可求解.

（2）根据的奇偶，分别求中奇数项的和以及偶数项的和即可.

（3）首先求出，然后去除掉中的项，表示出，即可求解.

【详解】（1）由，当时，，解得，

当时，，两式作差得，

即，

所以数列为等比数列，公比为2，所以，

所以数列的通项公式．

（2）由,得

所以

；

（3），

因为，

所以

．