2021-2022学年甘肃省平凉市庄浪县第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省平凉市庄浪县第二中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据集合并集运算规则即可得解.

【详解】由题：集合，，

则.

故选：C

【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.

2．已知扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的圆心角为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【解析】扇形的弧长公式为.

【详解】扇形的圆心角为.

故选：A

3．问题:①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会，方法:Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．则问题与方法配对正确的是（    ）

A．①Ⅲ  ②Ⅰ B．①Ⅰ ②Ⅱ C．①Ⅱ  ②Ⅲ D．①Ⅲ  ②Ⅱ

【答案】A

【解析】根据简单随机抽样法、系统抽样法以及分层抽样法的特征即可得出选项.

【详解】对于①，研究对象具有明显的分层现象，需利用分层抽样法；

对于②，研究的群体个数较少，需利用简单随机抽样法.

故选：A

4．sin240°=（     ）

A． B．- C． D．-

【答案】B

【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案.

【详解】

故选：B

5．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A．（-2，-1） B．（-1，0） C．（0，1） D．（1，2）

【答案】C

【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．

【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增

又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0

由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）

故选：C．

【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．

6．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦函数的最小正周期公式即可得解．

【详解】因为函数，所以.

故选：D．

7．要得到的图象，只需把的图象（   ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【解析】化简，然后根据三角函数图象的平移变换法则求解．

【详解】，

要得到的图象，

则只需将的图象向右平移个单位，

得到．

故选：C．

【点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意平移的逆向应用．

8．下列数据，，，，，，，，，的百分位数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】不是整数，是比大的最小整数，则据，，，，，，，，，的百分位数就是从小到大排列的第个数23.

故选: A

二、多选题

9．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【分析】由三角函数的单调性及诱导公式可得备选答案的真假．

【详解】A中，因为，由在单调递增，所以，所以A正确；

B中，因为在上单调递减；而，故，所以B正确；

C中，，因为在单调递增，而，所以，所以C正确；

D中，因为，所以，而，所以，所以D正确.

故选：ABCD．

10．下列结论正确的有（    ）

A．是奇函数．

B．在上单调递增

C．若，则

D．对数函数一定是单调函数，且恒过点

【答案】ABD

【分析】利用函数的奇偶性定义可判断A;利用函数的单调性定义可判断B;根据不等式的性质结合反例判断C;根据对数函数的性质判断D．

【详解】对于，满足，

故是奇函数，故A正确；

对于，在上单调递增，故B正确；

对于，若，当时,则，故C错误；

对于，当时，对数函数且在定义域上是减函数，

当时，对数函数且在定义域上是增函数，

又，即对数函数一定是单调函数，且恒过点，故D正确，

故选：．

11．若角是的三个内角，则以下结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】易知，再由诱导公式逐项分析判断即可．

【详解】在中，，

对于A，，选项A错误；

对于B，，选项B错误；

对于C，，选项C正确；

对于D，，选项D正确．

故选：AB．

12．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（    ）

A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差

【答案】ABD

【分析】根据平均数、极差、中位数、方差定义依次判断选项即可.

【详解】对选项A，若9个原始评分全部相等，

则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的平均分不变，

若9个原始评分不相等，

则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的平均分改变.

故A可能改变.

对选项B，若9个原始评分全部相等，极差为0，

则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的极差也为0，

若9个原始评分不相等，

则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的极差改变.

故B可能改变.

对选项C，不管9个原始评分是否相等，

去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的中位数不变，

故C不改变.

对选项D，由A知：平均数可能改变，故方差可能改变，故D可能改变.

故选：ABD

三、填空题

13．___________.

【答案】2

【解析】根据对数的运算性质进行计算.

【详解】原式.

故答案为：2

14．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．

【答案】(1,4)

【分析】由恒过(0,1)，结合与的关系确定P点的坐标.

【详解】由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，

∴P点坐标为(1,4)．

故答案为：(1,4)．

15．已知且，则在第______象限（用汉字填写）．

【答案】三

【分析】利用正切函数与余弦函数的符号，即可判断角所在象限．

【详解】因为，所以角所在的象限是第一、三象限，

因为，所以角所在的象限是第二、三象限以及的负半轴，

由于上述条件要同时成立，所以在第三象限．

故答案为：三．

16．设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是___________.

【答案】

【解析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，等价于或，根据函数图像解不等式.

【详解】由函数定义域及，可知函数为奇函数，

在上对任意实数都有成立，

函数在上为增函数，

又函数为奇函数，函数在为增函数，

又，则， 作出函数草图如图所示：

或，

根据的图像可知的解为：.

故答案为：

四、解答题

17．（1）已知角的终边经过点，求的值；

（2）已知角的终边经过点，求的值.

【答案】（1）（2）当时，；当时，

【分析】由于角终边上的点的坐标已经给定，只须用三角比的定义来求得.

【详解】解（1）由已知条件，得，

∴.

（2）当时，，则，故；

当时，，则，故.

【点晴】本题考查利用定义法求三角函数值的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

18．（1）已知，且，求，．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1)根据题意和同角三角函数的基本关系，结合即可求出的值，进而根据切化弦公式可求出的值；

(2)根据可得出，分子和分母同时除以即可得出答案．

【详解】(1)，且，

，

；

(2)，

．

19．某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.

(1)求出表中及图中的值；

(2)（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.

【答案】(1)；

(2)中位数是，平均数是68.5.

【分析】（1）根据样本总体和频数，频率的定义结合频率和为1计算得到答案.

（2）根据平均数和中位数的定义计算得到答案.

【详解】（1）；；

，解得.

（2）设中位数为，则，解得；

平均数为：

.

20．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.

（1）求的解析式和周期.

（2）当时，求的值域.

【答案】（1），周期为；（2）

【分析】（1）由图象上的最低点，可求.由图象与轴的相邻两个交点之间的距离求出周期，可求，再由最低点求，可得函数的解析式.

（2）利用函数的定义域、图象和单调性求值域.

【详解】（1）由图象上一个最低点为，可得.

又函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，

，.

又图象上的一个最低点为，

，

，

又，.

，周期为.

（2）当时，，

又函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，；

当时，.

故函数的值域为.

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题.

21．已知函数，，求：

(1)函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；

(2)函数的单调减区间．

【答案】(1)；

(2)，

【分析】利用正弦函数的图象性质求解即可．

【详解】（1）因为，

所以当，，即，时，取得最小值为，

此时自变量的集合为．

（2）由，，

得，，

所以函数的单调减区间为，．

22．已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．

（1）求函数和的解析式；

（2）若，求范围；

（3）若关于的方程有实根，求正实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果；

（2）可化为可解得结果；

（3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令设，则，则转化为有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果.

【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数，

所以，，

则

所以

（2）可化为，即，

所以，所以，得，

所以不等式的解集为.

（3）关于x的方程有实根，即有实根，

所以有实根，

令，则有正根，

所以有正根，

因为，

设，则，，

当时，，

当且时，，

所以或，

所以或，

综上所述：.