湖南省株洲市荷塘区景炎学校2022年中考数学二模试卷(含答案)

这是一份湖南省株洲市荷塘区景炎学校2022年中考数学二模试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省株洲市荷塘区景炎学校2022年中考数学二模试卷(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．中国人是最早使用负数的，可追溯到两千年前的秦汉时期，﹣2022的绝对值是（　　）
A．±2022 B．2022 C． D．﹣
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6
C．3xy﹣2xy＝1 D．（x﹣）2＝x2﹣x+
3．用科学记数法表示﹣0.000018为（　　）
A．1.8×10﹣5 B．1.8×105 C．﹣1.8×10﹣5 D．﹣1.8×10﹣6
4．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（4，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，﹣5）
5．分式方程+＝2的解为x＝2，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将5张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、五角星、圆的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，翻到中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（　　）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
9．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
11．多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项系数为 　 　．
12．分解因式：4x3﹣16x＝　 　．
13．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是x步，则可列方程为 　 　．
14．某班进行了3轮数学知识竞赛模拟赛，甲、乙、丙、丁4名同学3次模拟竞赛成绩的平均分分别是：甲90分，乙95分，丙95分，丁95分，方差分别是S＝4.5，S＝4.6，S＝6.3，S＝7.3，若要从这4名同学中，选取一位同学参加学校比赛，选 　 　最合适．
15．如图是某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，根据统计图所提供的信息计算优良率（分数80分以上包括80分的为优良）为 　 　．（填入百分数）

16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则劣弧的长为 　 　.（结果保留π）

17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BF平分∠ABC交AD于点F，E是AD的中点，连接CE，BF交于点G，连接CF，则S△EFG：S△BCG的值为 　 　．

18．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（1，k2）和点B（3，k2）．设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y2＝（x＞0）于点N．则的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝．
21．（8分）如图，点F是矩形ABCD边BC上的一点，延长CB到点E，使BE＝CF，连接AE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．
（2）连接AC，与DF交于点M，若四边形AEFD是边长为5的菱形，且sinE＝，求DM的长．

22．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

23．（10分）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
24．（10分）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．
（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．

25．（13分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求扇形OHF的面积；
②求AD的长．

26．（13分）抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）如图1，直线y＝x+m过点A，交抛物线于另一点D：
①直接写出m的值和点D的坐标；
②平移直线y＝x+m，当直线过点C时，此时交抛物线于另一点E，求△ADE的面积；
（2）如图2，设直线y＝x+m交抛物线于点G、H（点G在点H的左边），点P是抛物线上一点，且在直线y＝x+m的上方，直线PG、PH交x轴于点M、N，当PM＝PN时，求点P的坐标．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．中国人是最早使用负数的，可追溯到两千年前的秦汉时期，﹣2022的绝对值是（　　）
A．±2022 B．2022 C． D．﹣
【分析】直接利用绝对值的定义（正数的绝对值是它本身）得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是：2022．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6
C．3xy﹣2xy＝1 D．（x﹣）2＝x2﹣x+
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项法则以及完全平方公式作出判断即可．
【解答】解：A．a2•a4＝a2+4＝a6，故不符合题意；
B．（﹣a2）3＝（﹣1）3a6＝﹣a6，故不符合题意；
C.3xy﹣2xy＝xy，故不符合题意；
D.，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握公式．积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可以简记为，积的乘方等于乘方的积．
3．用科学记数法表示﹣0.000018为（　　）
A．1.8×10﹣5 B．1.8×105 C．﹣1.8×10﹣5 D．﹣1.8×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：﹣0.000018＝﹣1.8×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（4，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，﹣5）
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得结论．
【解答】解：将点P（2，﹣3）向左平移2个单位长度得到的点坐标为（2﹣2，﹣3），即（0，﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．分式方程+＝2的解为x＝2，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把x＝2代入原方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝2代入原方程，+＝2，
1+a＝2，
解得a＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定义，注意检验是解题的关键．
6．将5张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、五角星、圆的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，翻到中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由将5张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、五角星、圆的卡片任意摆放，中心对称图形的是平行四边形、矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵将5张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、五角星、圆的卡片任意摆放，
∴共有5种等可能的结果，
∵中心对称图形的有平行四边形、矩形、圆，
∴从中任意翻开一张，翻到中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及中心对称图形的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≥﹣3，得：x≥﹣2，
解不等式2（4−x）＞4，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（　　）
A．∁nH3nOH B．∁nH2n﹣1OH C．∁nH2n+1OH D．∁nH2nOH
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+1”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，
∴an＝2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+1OH．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an＝2n+1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
9．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号及a与b的关系，进而判断①②，由图象可得x＝1时，y＜0可判断③，由抛物线的对称性可得x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴交点在y轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
由图象可得x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，③正确．
若图象经过点（﹣3，﹣2），由抛物线对称性可得图象经过（1，﹣2），
∵|x1|＜|x2|，
∴x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，
∴2x1﹣x2＝5，④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
11．多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项系数为 　﹣　．
【分析】直接利用多项式的定义得出二次项进而得出答案．
【解答】解：∵多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项是﹣xy，
∴二次项系数为：﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了多项式，正确找出二次项是解题的关键．
12．分解因式：4x3﹣16x＝　4x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提公因式4x，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝4x（x2﹣4）＝4x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，一般是先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是x步，则可列方程为 　x（x+12）＝864　．
【分析】设矩形田地的宽为x步，则矩形田地的长为（x+12）步，根据矩形田地的面积等于864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设矩形田地的宽为x步，则矩形田地的长为（x+12）步，
依题意得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．某班进行了3轮数学知识竞赛模拟赛，甲、乙、丙、丁4名同学3次模拟竞赛成绩的平均分分别是：甲90分，乙95分，丙95分，丁95分，方差分别是S＝4.5，S＝4.6，S＝6.3，S＝7.3，若要从这4名同学中，选取一位同学参加学校比赛，选 　乙　最合适．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵乙，丙，丁的平均数相等，且大于甲，
∴在乙，丙，丁中选一人参加，
∵S＝4.6，S＝6.3，S＝7.3，
∴s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这3名同学3轮数学成绩最稳定的是乙，
故选乙参加．
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．如图是某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，根据统计图所提供的信息计算优良率（分数80分以上包括80分的为优良）为 　75%　．（填入百分数）

【分析】根据统计图中的数据，可知优良的人数为18+12，然后用优良的人数除以40，再乘以100%，即可得到达到优良的人数占全班人数的百分比．
【解答】解：（18+12）÷40×100%
＝30÷40×100%
＝75%，
故答案为：75%．
【点评】本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则劣弧的长为 　4π　.（结果保留π）

【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【解答】解：如图所示：连接OA、OB，OC，
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB＝∠COB＝＝72°，
∵⊙O的半径为5，
∴劣弧的长为：＝4π．
故答案为：4π．

【点评】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BF平分∠ABC交AD于点F，E是AD的中点，连接CE，BF交于点G，连接CF，则S△EFG：S△BCG的值为 　　．

【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC＝5，由平行线的性质及角平分线的性质得出∠ABF＝∠AFB，得出AF＝AB＝3，由中点的定义得出AE＝AD＝，进而求出EF＝，再证明△EFG∽△CBG，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∵E是AD的中点，
∴AE＝AD＝，
∴EF＝AF﹣AE＝3﹣＝，
∵AD∥BC，
∴∠FEG＝∠BCG，∠EFG＝∠CBG，
∴△EFG∽△CBG，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性，质角平分线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
18．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（1，k2）和点B（3，k2）．设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y2＝（x＞0）于点N．则的取值范围是 　0≤≤　．

【分析】将A（1，k2）和点B（3，k2）代入y1＝k1x+b可得y1＝﹣k2x+k2，设P（t，﹣k2t+k2），则E（t，0），N（t，），则＝﹣t2+t﹣1＝﹣（t﹣2）2+，故当t＝2时，取得最大值，最大值为，即可得答案．
【解答】解：如图：

将A（1，k2）和点B（3，k2）代入y1＝k1x+b得：
，解得，
∴y1＝﹣k2x+k2，
设P（t，﹣k2t+k2），则E（t，0），N（t，），
∴＝＝﹣t2+t﹣1＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，取得最大值，最大值为，
而PN≥0，NE＞0，
∴0≤≤，
故答案为：0≤≤．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数最大值等，解题的关键是用含k2的式子表示y1的函数关系式．
三、解答题（本大题共8小题，满分78分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：
＝1﹣2+9+4×
＝1﹣2+9+2
＝10．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：÷（a﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式是化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．（8分）如图，点F是矩形ABCD边BC上的一点，延长CB到点E，使BE＝CF，连接AE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．
（2）连接AC，与DF交于点M，若四边形AEFD是边长为5的菱形，且sinE＝，求DM的长．

【分析】（1）理由平行四边形的判定定理解答即可；
（2）理由（1）的结论，菱形的性质，直角三角形的边角关系定理和平行线分线段成比例定理列出比例式即可求得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF＝90°．
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠E＝∠DFC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AEFD是边长为5的菱形，
∴AD＝AE＝EF＝DF＝5．
∵sinE＝＝，
∴AB＝3．
∴BE＝＝4．
∵BE＝CF，
∴CF＝4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝5，
∵AD∥CB，
∴，
∴，
∴DM＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，充分利用矩形的性质解答是解题的关键．
22．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，
即sinα＝．
答：仰角α的正弦值为；
（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6m，
∵tan∠ACD＝，
∴CD＝＝≈21.22（m），
∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C两点之间的距离约为51m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
23．（10分）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【分析】（1）根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
（2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
（3）求出成本，根据（2）的结果计算即可得到答案．
【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c＝＝4.75，
∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；
（2）选择众数4.7，
这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）（答案不唯一）；
（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
24．（10分）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．
（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）①根据图象上点的坐标特征，则C（a，），D（b，），由AC＝BD即可得到﹣a＝b﹣，通过变形得到ab＝1'
②根据AC＝2BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【解答】解：（1）当b＝2，BD＝1时，则D（2，1），
∵双曲线y＝（x＞0）过D点，
∴k＝2×1＝2；
（2）当k＝1时，则反比例函数为y＝，
①∵点A（a，a），B（b，b），BD∥AC∥y轴，
∴C（a，），D（b，），
∵AC＝BD，
∴﹣a＝b﹣，
∴+＝a+b，
∴＝a+b，
∴ab＝1；
②∵AC＝﹣a，BD＝b﹣，
又∵AC＝2BD，
∴﹣a＝2（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝4（b2+﹣2），即a2+＝4（b2+）﹣6．
∵OC2＝a2+，OD2＝b2+，
∴4OD2﹣OC2＝4（b2+）﹣（a2+）＝6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的综合应用，正确表示出C、D的坐标是解题是关键．
25．（13分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求扇形OHF的面积；
②求AD的长．

【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠GHO＝30°，再求出∠EOH＝60°，OH＝4，代入扇形面积公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，过点O作OM⊥BC于点M，

∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：①G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，即∠FOH＝60°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴扇形OHF的面积＝；
②如图，过A作AN⊥BD于点N，

∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝OH＝2，BD＝OB+OD＝3，
∵AD＝AB，AN⊥BD，
∴DN＝，
∵∠ADB＝∠ODH，∠AND＝∠DOH＝90°，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．
【点评】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形的性质．
26．（13分）抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）如图1，直线y＝x+m过点A，交抛物线于另一点D：
①直接写出m的值和点D的坐标；
②平移直线y＝x+m，当直线过点C时，此时交抛物线于另一点E，求△ADE的面积；
（2）如图2，设直线y＝x+m交抛物线于点G、H（点G在点H的左边），点P是抛物线上一点，且在直线y＝x+m的上方，直线PG、PH交x轴于点M、N，当PM＝PN时，求点P的坐标．

【分析】（1）①求出A点坐标，代入直线解析式可求出m，联立直线和抛物线方程可求出D点坐标；
②由平行线的性质得出S△ADE＝S△ADC，则可求出答案；
（2）方法一：设G（x1，﹣x12+2x1+3），H（x2，﹣x22+2x2+3），P（t，﹣t2+2t+3），过P作PQ⊥x轴于Q，有PM＝PN，得出tan∠GPQ＝tan∠HPQ，可求出t的值，则可得出答案；
方法二：同方法一得出x2﹣x+m﹣3＝0，x1+x2＝，设直线PM：y＝kx+a，则PN：y＝﹣kx+b，与抛物线解析式联立得出x1+t＝﹣k+2，x2+t＝k+2，可求出t＝，则可求出答案．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，
∴y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵直线y＝x+m过点A，
∴0＝×（﹣1）+m，
∴m＝，
∵直线y＝x+m交抛物线于另一点D：
∴，
∴或，
∴D（，），
即m＝，D（，）；
②设AD交y轴于F，则F（0，），
∵CE∥AD，
∴S△ADE＝S△ADC＝|，
＝；
（2）方法一：
设G（x1，﹣x12+2x1+3），H（x2，﹣x22+2x2+3），P（t，﹣t2+2t+3），
联立，
消去y并整理得：x2﹣x+m﹣3＝0，x1+x2＝，
过P作PQ⊥x轴于Q，有PM＝PN，

则tan∠GPQ＝tan∠HPQ＝，
化简并整理得：x1+x2+2t＝4，
把x1+x2＝代入得t＝，
∴P（，）；
方法二：
设G（x1，﹣x12+2x1+3），H（x2，﹣x22+2x2+3），P（t，﹣t2+2t+3），
联立，
消去y并整理得：x2﹣x+m﹣3＝0，x1+x2＝，
设直线PM：y＝kx+a，则PN：y＝﹣kx+b，
与抛物线解析式联立得：x1+t＝﹣k+2，x2+t＝k+2，
通过以上三个式子得t＝．
∴P（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．