2022年宁夏银川六中中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年宁夏银川六中中考数学二模试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏银川六中2022年中考数学二模试卷(解析版)
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．在下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．2a2+a2＝3a4 B．（﹣2a2）3＝8a6
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（　　）

A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
5．如图，已知正方形ABCD，将对角线BD绕着点B逆时针旋转，使点D落在CB的延长线上的D′点处，那么sin∠AD′B的值是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（　　）

A． B． C．π D．2π
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时与其对应的函数值y＞0，则下列各选项中不正确的是（　　）
A．abc＞0 B．m＝n
C．a＜ D．图象的顶点在第四象限
二、填空题（每题3分，共24分）
9．因式分解：2x3y﹣8x2y2+8xy3＝　 　．
10．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆，我国成为世界上仅有的几个登陆火星的国家．VLBI技术在我国探月和深空探测工程中的应用功不可没，“超级望远镜”团队已经观测天问一号探测器近100次，测量精度达到0.0000000001秒．数据“0.0000000001”用科学记数法表示为 　 　．
11．一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为　 　．
12．“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，某区计划对长2000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高25%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了　 　天．（结果化为最简）
13．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝36°，则∠2的度数为 　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（1﹣2a，a），则a＝　 　．

15．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝　 　．
16．如图，在A点有一个热气球，由于受西风的影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得地面上的B点俯角为30°，则A、B两点间的距离为　 　米．

三、解答题（17-22题每题6分，23，24题每题8分，25，26题每题10分）
17．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（4，4），C（2，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，画出三角形，使它与△ABC的相似比为；
（2）直接写出△ABC的外心坐标．

18．（6分）（1）计算：2cos30°﹣（）﹣2++|1﹣|
（2）解不等式组
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求菱形ABCD的面积．

22．（6分）为了丰富同学们的课余生活，某校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5000元购买的篮球的个数比用7000元购买的足球的个数少50个．
（1）求篮球和足球的单价．
（2）为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

24．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

25．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　 　米，乙在A地时距地面的高度b为　 　米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？

26．（10分）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点　 　（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．在下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
【分析】将﹣2，，0，在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】解：将﹣2，，0，在数轴上表示如图所示：

于是有﹣2＜0＜＜，
故选：A．
【点评】本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．
2．下列运算正确的是（　　）
A．2a2+a2＝3a4 B．（﹣2a2）3＝8a6
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．
【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（　　）

A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
【分析】根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【解答】解：A、第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；
B、这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；
C、第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.1+36.6+36.9）≈36.9，第二周平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7，信息正确，故本选项不符合题意；
D、根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据折线统计图准确获取信息是解题的关键．
5．如图，已知正方形ABCD，将对角线BD绕着点B逆时针旋转，使点D落在CB的延长线上的D′点处，那么sin∠AD′B的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再由图形旋转的性质得出D′B的长，由勾股定理求出AD'的长，由锐角三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝a，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB＝a，∠ABD'＝90°，
∵BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，
∴D′B＝BD＝a，
∴AD'＝＝a，
∴sin∠AD′B＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质、正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质是解答此题的关键．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（　　）

A． B． C．π D．2π
【分析】连接OC，OD，证明∠COD＝90°，可得结论．
【解答】解：连接OC，OD．

∵OC＝ODD＝2，CD＝2，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴的长＝＝π，
故选：C．
【点评】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠COD＝90°．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时与其对应的函数值y＞0，则下列各选项中不正确的是（　　）
A．abc＞0 B．m＝n
C．a＜ D．图象的顶点在第四象限
【分析】函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，可得ab＜0，又c＝﹣2＜0，可得abc＞0，故A正确；由（﹣1，m）与（2，n）关于对称轴直线x＝对称，故B正确；根据当x＝﹣时与其对应的函数值y＞0，有a﹣b+c＞0，而﹣＝，c＝﹣2，故C不正确意；抛物线的顶点的横坐标为，从表格看，顶点的纵坐标为负数，故D正确．
【解答】解：∵函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，
∴ab＜0，
∵c＝﹣2＜0，
∴abc＞0，故A正确，不符合题意；
∵﹣（﹣1）＝2﹣，
∴（﹣1，m）与（2，n）关于对称轴直线x＝对称，
∴m＝n，故B正确，不符合题意；
∵当x＝﹣时与其对应的函数值y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
而﹣＝，c＝﹣2，
∴a﹣×（﹣a）﹣2＞0，
∴a＞，故C不正确，符合题意；
∵抛物线的顶点的横坐标为，从表格看，顶点的纵坐标为负数，
∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．因式分解：2x3y﹣8x2y2+8xy3＝　2xy（x﹣2y）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2xy（x2﹣4xy+4y2）
＝2xy（x﹣2y）2．
故答案为：2xy（x﹣2y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．2021年5月15日，“天问一号”成功着陆，我国成为世界上仅有的几个登陆火星的国家．VLBI技术在我国探月和深空探测工程中的应用功不可没，“超级望远镜”团队已经观测天问一号探测器近100次，测量精度达到0.0000000001秒．数据“0.0000000001”用科学记数法表示为 　1×10﹣10　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000001＝1×10﹣10．
故答案为：1×10﹣10．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为　1440°　．
【分析】首先根据内角的度数可得外角的度数，再根据外角和为360°可得边数，利用内角和公式可得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都是144°，
∴它的每一个外角都是：180°﹣144°＝36°，
∴它的边数为：360°÷36＝10，
∴这个多边形的内角和为：180°（10﹣2）＝1440°，
故答案为：1440°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数）．
12．“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，某区计划对长2000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高25%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了　　天．（结果化为最简）
【分析】根据原计划工期﹣实际工期＝缩短的工期时间解答．
【解答】解：根据题意，得﹣＝（天）．
故答案是：．
【点评】本题考查了列代数式，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出代数式．
13．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝36°，则∠2的度数为 　24°　．

【分析】如图，欲求∠2，需求∠ABC．已知∠A，需求∠ACB．由BC∥DF，则∠ACB＝∠1+∠EDA，进而解决问题．
【解答】解：如图：

∵∠2与∠ABC是对顶角，
∴∠2＝∠ABC．
∵BC∥DF，∠1＝36°，∠EDA＝90°，
∴∠ACB＝∠1+∠EDA＝126°．
∴∠ABC＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣（30°+126°）＝24°．
∴∠2＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形内角和定理以及对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理以及对顶角的性质是解决本题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（1﹣2a，a），则a＝　1　．

【分析】根据题意得：点P在∠MON的平分线上，横、纵坐标互为相反数，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：点P在∠MON的平分线上，
∴a+1﹣2a＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，根据点P在∠MON的平分线上，横、纵坐标互为相反数是解题的关键．
15．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝　0　．
【分析】由一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2可得x12﹣4x1＝﹣3，x1x2＝3，代入可得结果．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，
∴x12﹣4x1＝﹣3，x1x2＝3，
∴x12﹣4x1+x1x2＝﹣3+3＝0
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
16．如图，在A点有一个热气球，由于受西风的影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得地面上的B点俯角为30°，则A、B两点间的距离为　200　米．

【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝20×10＝200（米），
∴AD＝AC•sin45°＝100（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝200（米）．
故答案为：200．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．
三、解答题（17-22题每题6分，23，24题每题8分，25，26题每题10分）
17．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（4，4），C（2，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，画出三角形，使它与△ABC的相似比为；
（2）直接写出△ABC的外心坐标．

【分析】（1）把A、B、C点的横、纵坐标都乘以得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）作AB和AC的垂直平分线得到△ABC的外心，再写出它的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）如图，点P为△ABC的外心，其坐标为（0，2）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了三角形的外心．
18．（6分）（1）计算：2cos30°﹣（）﹣2++|1﹣|
（2）解不等式组
【分析】（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、立方根，去掉绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣4﹣2+﹣1
＝﹣4﹣2+﹣1
＝2﹣7；
（2）由x+5≤0，得：x≤﹣5，
由≥2x+1，得：x≤﹣3，
则不等式组的解集为x≤﹣5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x≠0，2，
∴当x＝1时，原式＝﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；
（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），
补全图形如下：

（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；
（4）画树状图如下：

由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为＝．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）先证四边形OBEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形OBEC是矩形；
（2）根据菱形的性质可得OD＝，AO＝OC＝3．然后通过菱形的面积等于4个小直角三角形的面积可得答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，AD＝2，
∴OD＝，AO＝OC＝3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，
∵AO＝AO，
∴△ADO≌△ABO（SAS），
同理可证△BAO≌△BCO≌△DCO≌△DAO，
∴菱形ABCD的面积＝4S△AOD＝4××3×＝6．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
22．（6分）为了丰富同学们的课余生活，某校准备购买足球、篮球共100个，经市场了解，发现篮球的单价比足球的单价多30元，用5000元购买的篮球的个数比用7000元购买的足球的个数少50个．
（1）求篮球和足球的单价．
（2）为了支持学校开展体育活动，且保证购买篮球数量不少于足球的一半，商店对篮球及足球进行打折销售，其中篮球打八折，足球打九折，请你给该校设计一个最省钱的购买方案，并求出最少费用为多少元？
【分析】（1）设足球的单价为x元，根据“用5000元购买的篮球的个数比用7000元购买的足球的个数少50个”列分式方程，求解即可；
（2）设购买了m个足球，总费用为w元，根据购买篮球数量不少于足球的一半列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，即可确定最省钱的购买方案，进一步求出最少费用．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，
根据题意，得，
解得x＝70，
经检验，x＝70是原方程的根，且符合题意，
x+30＝70+30＝100（元），
答：篮球的单价为100元，足球的单价为70元；
（2）设购买了m个足球，总费用为w元，
根据题意，得100﹣m≥m，
解得m，
根据题意，w＝100×0.8（100﹣m）+70×0.9m＝﹣17m+8000，
∵﹣17＜0，
∴w随着m增大而减小，
当m＝66时，w取得最小值，最小值为﹣17×66+8000＝6878（元），
100﹣66＝34（个），
答：最省钱的购买方案为：篮球购买34个，足球购买66个，最少费用为6878元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；
（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝＝5，证明△FBA∽△DBC，得出＝，求出BF＝，由CF＝BC﹣BF即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．


【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

【分析】（1）求出OA＝BC＝2，将y＝2代入y＝﹣x+3求出x＝2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝；

（2）把x＝4代入y＝得：y＝1，
即CN＝1，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4，
由题意得：OP×AM＝4，
∵AM＝2，
∴OP＝4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．
25．（10分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　10　米，乙在A地时距地面的高度b为　30　米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？

【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x＞2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30．
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；
当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度＝初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．
26．（10分）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点　M　（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．
（2）经过t秒时可得NB＝y，OM﹣2t．根据∠BCA＝∠MAQ＝45°推出QN＝CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．
（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM＝90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA＝90°，QM与QP重合）求出t值．
【解答】解：（1）点M．

（2）经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，
则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，
∵A（4，0），C（0，4），
∴AO＝CO＝4，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BCA＝∠MAQ＝45°，
∴QN＝CN＝3﹣t
∴PQ＝1+t，
∴S△AMQ＝AM•PQ＝（4﹣2t）（1+t）＝﹣t2+t+2．
∴S＝﹣t2+t+2＝﹣t2+t﹣++2＝﹣（t﹣）2+，
∵0≤t≤2
∴当时，S的值最大．

（3）存在．
设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t
则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t
∴∠BCA＝∠MAQ＝45°
①若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴PQ＝AP＝MA
∴1+t＝（4﹣2t）
∴t＝
∴点M的坐标为（1，0）
②若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合
∴QM＝QP＝MA
∴1+t＝4﹣2t
∴t＝1
∴点M的坐标为（2，0）．

【点评】本题考查的是二次函数的有关知识，考生还需注意的是要学会全面分析问题的可行性继而解答．