辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含答案）

2022—2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C．5 D．

3．函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

4．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另1张也是假钞的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．在等腰梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．3 C． D．

7．已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程，则（    ）

A． B． C．109 D．

8．已知双曲线（，）左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．2 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若函数（）两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递减

C．将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称

D．若，则

10．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．的最大值为  D．的最小值为

11．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．0

12．香囊，又名香袋，花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．直线与直线所成的角为45°

C．该六面体的体积为

D．该六面体内切球的表面积是

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中按的升幂排列的第3项的系数为______．

14．已知向量，的夹角为60°，且，，则______．

15．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是______．

16．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的（）叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数（，，）的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，求的取值范围．

18．（12分）在数列中，，（），且，，成等比数列．

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为，证明：．

19．（12分）如图，在四棱雉中，平面平面，，，．

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习．为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．

（1）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；

（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．

21．（12分）已知是椭圆：（）与抛物线：（）的一个公共点，且椭圆与拋物线具有一个相同的焦点．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（注：为坐标原点），点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求的值．

22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）设直线是曲线（）的一条切线，求的值；

（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．

2022—2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题

数学试卷答案

1．C  2．D  3．C  4．C  5．C  6．C  7．D  8．C  9．AC  10．BCD  11．BD  12．AD

13．   14．2   15．   16．2026

17．解：（1）由图象知，，，

将点代入解析式得，因为，

所以，所以．

（2）由得：，

所以，，

因为，所以，所以，，，

，，，

所以，所以．

18．证明：（1）由，得，即，

所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，

因此，，，

由，，成等比数列，得，即，

解得或（舍去），故．-

（2）因为，

所以

因为，所以．

19．详解：（1）证明：∵平面平面，

平面平面，，

∴平面，∵平面，∴

在直角梯形中，，∴，

∵，，∴，即，

又，、平面，

∴平面．

（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设，，则

∴

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴

∵与平面所成角的正弦值为，

∴，

化简得，解得，

故线段上存在点满足题意，且．

20．解：（1）第二天选择类套餐的概率；

第二天选择类套餐的概率，

∴3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0、1、2、3，

有（，1，2，3），

∴的分布列为

故．

（2）依题意，，则（，）．

当时，可得，

∴数列是首项为公比为的等比数列．．

（3）由（1）知：，

∴，即第30次以后购买套餐的概率约为．

则，

∴负责套餐的8人，负责套餐的12人．

21．解：（1）∵是抛物线：（）上一点，

∴，即抛物线的方程为，焦点，∴

又∵在椭圆：上，∴，

结合知，，

∴椭圆的方程为，抛物线的方程为．

（2）设，，，（），

∵点是线段的中点，∴，

，，，

∴，

∵点在椭圆上，

∴

∴

∵点，在椭圆上，

又∵，斜率之积为，∴，，，

∴，∴，∴或（舍）．∴，∴．

22．解：（1）设切点为，其中，

有，且

得，所以，易解得：，则；

（2）记，有，

当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；

当时，当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以在处取得最小值，，

则有，记（），

有，易知在单调递增，在单调递减，

则，所以，得．