第04讲 解不等式及恒成立问题 期末大总结(原卷版)
展开第4讲 解不等式及恒成立问题 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：二次函数的值域或最值
必会题型二：解不含参数二次、分式及高次不等式
必会题型三：解含参数二次、分式及高次不等式
必会题型四：由一元二次不等式的解确定参数
必会题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．二次函数的解析式常见的三种设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，已知二次函数图像经过三个点时经常采用这种设法．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，已知二次函数的顶点坐标或对称轴时经常采用该种设法．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，已知二次函数的图像与x轴的两个交点或已知二次函数对应的一元二次方程的两个实根时经常采用该种设法．
2．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式．由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左右、上下平移得到．具体平移过程由下列两种模式：
①y＝ax2(a≠0)y＝a(x＋h)2(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
②y＝ax2(a≠0)y＝ax2＋k(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
3．二次函数[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋]的性质(如图) (1)a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增，当x＝－时，f(x)min＝； (2)a＜0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减，当x＝－时，f(x)max＝； | 对称轴x＝－，顶点(－，) |
4．三个“二次”的关系(a＞0)[口诀：大于取两根之外，小于取两根之内]
判别式Δ＝b2－4ac | Δ＞0 | Δ＝0 | Δ＜0 |
y＝ax2＋bx＋c的图像 | |||
ax2＋bx＋c＝0的根 | 两异实根x1，x2(x1＜x2) | 两相等实根x1＝x2＝－ | 没有实数根 |
ax2＋bx＋c＞0的解集 | {x|x＞x1或x＜x2} | {x|x≠－} | {x|x∈R} |
ax2＋bx＋c＜0的解集 | {x|x1＜x＜x2} | ∅ | ∅ |
5．一元高次不等式的解法如图(数轴标根法，穿针引线法)[注意：a＞0]．
(1)正化求根：将不等式移项分解因式，把每个因式最高项系数化为正，并求出每个因式对应的根． (2)标根穿线：将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由右上方连续穿过n个根． (3)数轴上方的曲线对应区间就是y＞0的解集；下方对应区间就是y＜0的解集． | (x－1)2(x－2)(x－3)＞0 |
(x－1)3(x－2)(x－3)＞0 |
(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．
6．分式不等式的解法
(1)＞0(或＜0)⇔ y1·y2＞0(或＜0)再求解．
(2)≥0(或≤0)⇔ y1·y2≥0(或≤0)且y2≠0再求解．
(3)形如的分式不等式可同解变形为
故可转化为．
7．恒成立问题
(1)在实数集上恒成立问题
①一元二次不等式对任意恒成立的条件是
②一元二次不等式对任意恒成立的条件是
③一元二次不等式对任意恒成立的条件是
④一元二次不等式对任意恒成立的条件是
(2)在特定区间D上恒成立，
方法一：先分离参数
①m＞y恒成立⇔m＞y max；
②m＜y恒成立⇔m＜y min
方法二：转化为含参二次函数在区间D上的最值，需讨论二次函数的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、中间、右侧进行讨论．
8．含参数的一元二次不等式的解法(步骤)
(1)将二次项系数转化为正数：二次项系数若含有参数，应讨论二次项系数是等于0、小于0还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的不等式；
(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，那么可省去此步)，确定无根时，可直接写出解集；
(3)根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异实根，为了写出解集还要分析两根的大小．
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：二次函数的值域或最值
1．(2020·宁夏长庆高级中学高一阶段练习)，则函数最小值和最大值分别是( )
A．，3 B．，3 C． D．，无最大值
2．(2022·全国·高一单元测试)若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为( )
A．－1，－7 B．0，－8 C．1，－1 D．1，－7
3．[多选](2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习)已知函数，关于的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上有最小值2，最大值5
D．当时在区间上的最小值为；当时在区间上的最小值为1
4．(2022·广西南宁·高一期末)已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______
5．(2021·江西省新干中学高一期中)已知函数
(1)若，求在上的单调区间；
(2)若，求的最大值．
6．(2021·河北师范大学附属中学高一期中)已知函数．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值．
必会题型二：解不含参数二次、分式及高次不等式
1．(2022·湖北·仙桃市汉江高级中学高一期中)不等式的解集为( )
A． B． C． D．
2．(2022·湖北·十堰市郧阳区第二中学高一期中)不等式的解集为( )
A． B．
C．或 D．或
3．(2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习)前后两个不等式解集相同的有( )
①与
②与
③与
④与
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
4．(2022·湖南·株洲二中高一开学考试)不等式的解集为___________．
5．(2022·天津益中学校高一阶段练习)不等式的解集为___________．
6．(2022·全国·高一专题练习)解下列不等式：
(1)
(2)
(3)；
(4)
必会题型三：解含参数二次、分式及高次不等式
1．(2022·广东·东莞外国语学校高一阶段练习)若，则不等式的解集是( )．
A． B．
C． D．
2．(2022·广东·佛山市南海区桂华中学高一阶段练习)已知集合，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．(2022·河南·高一期中)已知，且关于的不等式的解集为，其中，则的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．[多选](2022·甘肃·兰州一中高一期中)已知不等式，下列说法正确的是( )
A．若，则不等式的解集为
B．若，则不等式的解集为
C．若，则不等式的解集为或
D．若，则不等式的解集为
5．(2022·上海市延安中学高一期中)关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是_________．
6．(2022·福建省泉州市培元中学高一期中)已知，解关于的不等式：
(1)；
(2)．
7．(2022·广东·北京师范大学广州实验学校高一期中)已知不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)为何值时，的解集为．
(3)解不等式．
必会题型四：由一元二次不等式的解确定参数
1．(2022·北京市西城外国语学校高一期中)二次不等式的解集是，则( )
A．0 B．2 C． D．1
2．(2022·山东省临沂第一中学高一期中)若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
3．[多选](2022·江苏·金陵中学高一期中)已知关于x的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
4．(2022·江苏·扬州中学高一期中)已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
5．(2022·四川·石室中学高一阶段练习)若不等式的解集为或， 则的值为_________．
必会题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题
1．(2021·江苏省南通中学高一阶段练习)设不等式的解集为，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
2．[多选](2022·广东·清远市第一中学高一期中)已知不等式的解集为，则实数的取值可以是( )
A． B．0 C． D．1
3．(2022·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习)已知存在，不等式有解，则实数的取值范围为__________．
4．(2021·江西省乐平中学高一阶段练习)(1)若对，求a的取值范围；
(2)若，使得成立，求a的取值范围．
5．(2022·河南·南阳华龙高级中学高一阶段练习)已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
6．(2022·全国·高一专题练习)已知函数．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
