重庆市南开中学2022-2023学年高一数学上学期期末模拟题二（Word版附答案）

重庆南开中学高2025级高一（上）数学期末模拟题二

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1.已知集合，，则（    ）

A.     B.     C.     D.

2．与2022°终边相同的角是（    ）

A． B． C．222° D．142°

3．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．函数的零点所在区间为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

8.若，则（    ）

A． B．3 C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．下列各项中，与是同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

10．下列命题中真命题是（    ）

A．若角的终边在直线上，则

B．若，则

C．函数的单调递增区间是

D．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是

11．若，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．若，则        B．

C．若，则或

D．若方程有两个不同实数根，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若幂函数是偶函数，则___________.

14．已知某扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为________．

15．若，且，则__________.

16．已知函数，正实数，满足，则的最小值为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（1）化简：

（2）求值：

18．已知.

(1)若在第二象限，求的值；

(2)已知，且，求的值.

19．已知函数为定义在上的奇函数.

(1)求的值域；

(2)解不等式：

20．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．

(1)求面积关于的函数表达式；

(2)求面积最小值．

21．已知函数.

(1)若函数在单调递增，求实数的取值范围；

(2)，，使在区间上的值域为.求实数的取值范围.

22．若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.

（1）试判断函数与是否是“速增函数”；

（2）若函数为“速增函数”，求的取值范围；

（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有.

重庆南开中学高2025级高一（上）数学期末模拟题二参考答案

一．单选题 BCDCA    AAB

二．多选题 AD  ABD   BC  BC

三．填空题                      

8.

12.A：当时，有；当时，有，故或，错误；

B：由，则，故，正确；

C：当时，有；当时，有，故或，正确；

D：由解析式可得、的图象如下：

要使方程有两个不同实数根，即、有两个交点，则，

∴，错误.

16.，∴，∴关于对称.

在单调递增，由对称性得在单调递增，

∴在单调递增.

∴，

∴

当且仅当，即时，等号成立.

四．解答题

17.解：（1）

（2）

18.(1)解： ，∴

∵在第二象限，∴，，

∴

(2)解：

∴，

19.(1)由题意可知，，解得，则，

经检验，恒成立，

令，则，

函数在单调递增，

函数的值域为

(2)由（1）得，则

，

，

，

不等式的解集为.

20.解：(1)由图可知，小正方形的边长为，且，

大正方形的边长为，

所以，

，

因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，

可得，设且满足，

所以，，，锐角满足.

(2)解：，锐角满足，

因为，则，

且，则，

因为，且，所以，，

所以，此时，则，

因此，面积的最小值为．

21.(1)

∵在单调递增，

∴在单调递增，且

∴，解得.

(2)

由，在上是减函数.

所以，在上的值域为，

故，整理得：，

即在内有两不等实根，，

令，当时，则关于的在内有两个不等实根.

整理得：，即与由两个不同的交点，

又，当且仅当时等号成立，则上递减，上递增，且其值域为.

∴函数图象如图：

∴，即.

22.（1）对于函数，当，时，，

又，

所以，

故是“速增函数”.

对于函数，当时，，

故不是“速增函数”.

（2）当，时，由是“速增函数”，

可知，即对一切正数恒成立，

又，可得对一切正数恒成立，所以.

由，可得，

即

，

故，又，故，

由对一切正数，恒成立，可得，即．

综上可知，的取值范围是．                    

（3）由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，

都有，，且，

令，可知，即，

故对于正整数与正数，都有，

对任意，，可得，又，

所以，

同理，

故．