重庆市杨家坪中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份重庆市杨家坪中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析），共16页。

重庆市杨家坪中学高2025届高一上期期末质量
收官数学自主练习
（满分150分，时间120分钟）

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡批改后照片提交．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】，解得：，
所以，所以.
故选：C
2. 已知是方程的两根，，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案.
【详解】若是方程的两根，则.
因为，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
4. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或,
解得或，所以满足的的取值范围是，
故选：B.
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质及指数与对数的关系得到，即可得解.
【详解】由可得，所以，
所以.
故选：C
6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围.
【详解】和在上是增函数，
在上是增函数，
只需即可，即，解得．
故选：B.
7. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项．
【详解】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C．
8. 若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，可得，根据函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】构造函数，
由，
可得，
，且定义域为
奇函数，
∴，
又易得为上单调递增函数，
.
故选:C.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD.
【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；
对于B，，因为，所以，故B正确；
对于C，当时，故C错误；
对于D，当时，，故D错误；
故选：AB.
10. 下列结论正确是（ ）
A. 是第一象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】ABC
【解析】
【分析】由象限角的概念，扇形面积公式，及三角函数的概念判断选项正误可得答案.
【详解】选项A中，，是第一象限角，故A正确；
选项B中，设该扇形的半径为，则，故B正确；
选项C中，，故C正确；
选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．
故选：ABC.
11. 已知函数，下面说法正确的有（ ）
A. 的值域为
B. 的图象关于原点对称
C. 的图象关于轴对称
D. ，且恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分离常数的方法得到的值域，根据且定义域为即可得为奇函数且关于原点对称.
【详解】，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项A不正确；的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项C不正确，选项B正确；
设任意的，则，
因为，所以，
即，又因，所以，故选项D正确.
故选：BD.
12. 设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则的取值范围为
D. 若（其中），则
【答案】AD
【解析】
【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】A：时，或，结合解析式：时有或时有，所以，正确；
B：时，对于方程，
不能确定符号，则无法确定方程是否有解，不正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1､：
此时，令，则在上有一个零点，

可得
2､，由知：．
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：
必有．由韦达定理，
所以此时，，所以，故D正确．

故选：AD
【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义求解即可.
【详解】根据正弦值为负数，判断角在第三､四象限，再加上横坐标为正，
断定该角为第四象限角．.
故答案为：
14. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数值的意义求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
15. 2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.
【答案】700
【解析】
【分析】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱.
【详解】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，
又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，
设实际付款元对应的原价为元，
所以，解得，
所以两次付款的原价之和为：元，
若按方案二付款，则实际付款为：元，
所以节省的钱为：元，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过两次实际的付款去计算原价，其中要注意根据实际付款的金额先判断购买农资金额的范围，然后再根据优惠政策去计算.
16. ，记为不大于最大整数，，若，则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】对的范围分类讨论，结合所给定义表示出、，将转化为一元一次不等式，解得即可，最后取并集；
【详解】当时，所以，
即，解得，所以；
当时，所以，
即，解得，所以；
综上可得.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可.
【小问1详解】
由题知，，
当时，，
所以.
【小问2详解】
由题知，
因为，
所以
当时，解得，满足题意；
当时，或，
解得，或，
综上所述，的取值范围为，
18. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的正切公式求解即可；
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
【小问2详解】


19. （1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）6 ；（2）9 .
【解析】
【分析】利用基本不等式以及“1”的妙用，可得答案.
【详解】（1），即，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为6．
（2），
当且仅当，即时取等号．的最小值为9.
20. （1）已知，求的值；
（2）化简求值：
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系先求出，然后由结合两角差的正弦公式代入求解即可；
（2）由已知结合两角差的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】解：（1）因为，所以，
所以，
所以，

．
（2）因为
.
21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元
【解析】
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.
【小问1详解】
根据题意，，化简得，

【小问2详解】
由（1）得

当时，
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.
22. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数，
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义结合对数函数的运算求解即可；
（2）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；
（3）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
函数为奇函数，所以，
即，所以，解得
而当时，不合题意，故．
【小问2详解】
由（1）知：，
令，因为在上单调递减，
而在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单增，
所以函数在区间上单增，
，，
所以在区间上值域为
所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为．
【小问3详解】
由题意可知：在上恒成立，所以
即，所以在上恒成立，
所以
令
易知在上递减，所以，
在上递增，所以，