2023荆州中学高二上学期期末数学试题含答案

荆州中学2021级高二上学期期末考试

数学试题

命题人： 杨俊祎    审题人：张 静 朱代文

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

2. 设、，向量，，且，，则（      ）

A.  B.  C.  D.

3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

4. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知是等差数列的前项和，，则的最小值为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 等比数列的前项和为，，，则为（   ）

A.  B.

C.  D. 28或-21

8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（      ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（    ）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

10. （多选）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作，《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始5每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是（    ）

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

11. 在平面直角坐标系xOy中，点，动点M到点F的距离与到直线的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于，两点，则（    ）

A.

B. 的面积的最小值是2

C. 当时，

D. 以线段OF为直径圆与圆相离

12. 矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论正确的有（    ）

A. 四面体ABCD体积为

B. 点B与D之间距离为

C. 异面直线AC与BD所成角为45°

D. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设是等差数列前项和，已知，，则_______.

14. 设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．

15. 已知数列的通项公式为，则数列的前项和_______.

16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．

四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知圆和直线.

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.

18. 在数列中，.

（1）设，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和.

19. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

20. 如图，平面，平面，，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角余弦值.

21. 己知等比数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，证明：．

22. 已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；

（1）求抛物线C的方程；

（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.