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    2022-2023学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试题 解析版

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    这是一份2022-2023学年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试题 解析版,共19页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    荆州中学2021级高二上学期期末考试

    数学试题

    命题人:

    一、单项选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据椭圆焦点在轴上,可得,解出范围即可.

    【详解】:由题知表示焦点在轴上的椭圆,

    则有: ,

    解得:.

    故选:D

    2. ,向量,则     

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出的值,求出向量的坐标,利用空间向量的模长公式可求得结果.

    【详解】因为,则,解得,则

    因为,则,解得,即

    所以,,因此,.

    故选:D.

    3. 是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是(   

    A. ,则 B. ,则

    C. ,则 D. ,则

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据线线、线面、面面的位置关系,对选项进行逐一判断即可.

    【详解】选项A.  一条直线垂直于一平面内的,两条相交直线,则改直线与平面垂直

    则由,不能得出,故选项A不正确.

    选项B.   ,正确,故选项B正确.

    选项C.  ,则可能相交,可能异面,也可能平行,故选项C不正确.

    选项D.  ,则可能相交,可能平行,故选项D不正确.

    故选:B

    4. 金刚石的成分为纯碳,是自然界中存在的最坚硬物质,它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2,则它外接球的体积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】求得外接球的半径,进而计算出外接球体积.

    【详解】,正八面体的棱长为

    根据正八面体的性质可知:

    所以是外接球的球心,且半径

    所以外接球的体积为.

    故选:A

    5. 已知是等差数列的前项和,,则的最小值为(  

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据等差数列的前项和公式和性质可得:,且,进而求解.

    【详解】因为是等差数列的前项和,

    可得:,所以

    可得:,所以

    则有,所以等差数列的前项为负值,从第项开始为正值,

    所以的最小值为

    故选:.

    6. 直线分别与x轴,y轴交于两点,点在圆,则面积的取值范围是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由题意首先求得的长度,然后确定圆上的点到直线的距离,最后确定三角形面积的取值范围.

    【详解】解:因为,所以.

    圆的标准方程,圆心

    圆心到直线的距离为

    所以,点到直线的距离的取值范围为:

    所以.

    故选:C.

    7. 等比数列的前项和为,则为(  

    A.  B.

    C.  D. 28-21

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据等比数列前项和公式,列出的表达式,两式相除可推出,解出,再根据,即可求出结果.

    【详解】公比为.

    时,,则应有,该方程组无解,所以.

    由已知可得

    两式相除可得,,整理可得

    解得(舍去),所以.

    所以

    故选:A.

    8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为(      

    A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由于线段的垂直平分线过,所以有再根据双曲线和椭圆的定义,求出的表达式,然后利用基本不等式来求得最小值.

    【详解】设椭圆对应的参数为双曲线对应的参数为

    由于线段的垂直平分线过,所以有.

    根据双曲线和椭圆的定义有

    两式相减得到

    所以

    当且仅当等号成立,即最小值为.

    故选:B.

    【点睛】思路点睛:本小题考查双曲线的定义和几何性质,考查椭圆的定义和几何性质,是一个综合性较强的题目由于椭圆和双曲线有公共的焦点,所以焦距相同,也就是有相同对于两个曲线的公共交点来说,即满足椭圆的定义,又满足双曲线的定义,根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.

    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对得2.

    9. 数列2020的通项公式可以是(   

    A.

    B.

    C.

    D.

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】对选项逐一分析,从而确定正确答案.

    【详解】A选项,,符合题意.

    B选项,,不合题意.

    C选项,符合题意.

    D选项,,不合题意.

    故选:AC

    10. (多选)朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作,《算学启蒙》中涉及一些堆垛问题,主要利用堆垛研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿堆垛问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的,要求层数不小于2,且从最下面一层开始5每一层比上一层多1根,则该等腰梯形垛堆放的层数可以是(   

    A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】设最上面一层放根,一共放层,则最下面一层放根,利用等差数列的前项和公式可得,结合,可得200的因数,且为偶数,逐一验证各个选项即可得解.

    【详解】解:设最上面一层放根,一共放层,

    则最下面一层放根,

    于是

    整理得

    因为

    所以200的因数,且为偶数,

    时,,为奇数,不符合题意,

    时,,符合题意,

    时,,不符合题意,

    时,,符合题意,

    所以8满足题意.

    故选:BD

    11. 在平面直角坐标系xOy中,点,动点M到点F的距离与到直线的距离相等,记M的轨迹为曲线C.若过点F的直线与曲线C交于两点,则(   

    A.

    B. 的面积的最小值是2

    C. 时,

    D. 以线段OF为直径的圆与圆相离

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】由题意可知点M的轨迹是以 F 为焦点 , 直线为准线的抛物线,结合抛物线的相关知识可以判断ABC,结合圆与圆的位置关系的相关知识,可判断D

    【详解】依据题意动点M 到点 F ( 1 , 0 ) 的距离与它到直线的距离相等,

    由抛物线定义知点M的轨迹是以 F 为焦点 , 直线为准线的抛物线,

    所以点 P 的轨迹 C 的方程为

    对于A AB x 轴,则A错误;

    对于B,显然直线AB的斜率不为 0 , 设直线AB的方程为,

    联立整理可得

    所以

    所以

    时取等号,所以的面积的最小值是 2 所以B正确;

    C中, ,

    所以

    ,

    ①,②,

    ①②③联立可得

    由抛物线的性质可得

    所以C正确;

    D , OF 为直径的圆的方程为, 圆心半径

    的圆心半径

    所以圆心距

    可得两个圆相离,所以 D 正确;

    故选: BCD .

    12. 矩形ABCD中,,沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角,若,则下列结论正确的有(   

    A. 四面体ABCD的体积为

    B. BD之间的距离为

    C. 异面直线ACBD所成角为45°

    D. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】分别作,垂足为EF,利用向量法求出,可判断B,由题可得平面,然后利用棱锥的体积公式可得可判断A,利用向量法求出判断C,根据等积法结合条件可得直线AD与平面ABC所成角的正弦值判断D.

    【详解】分别作,垂足为EF,则

    由已知可得,

    因为

    所以

    所以,故B错误;

    因为

    所以,即

    同理

    平面

    平面

    所以四面体ABCD的体积为,故A正确;

    由题可得,

    ,得

    所以异面直线所成的角为,故C正确;

    设点到平面,则

    所以

    所以

    设直线AD与平面ABC所成角为,则,故D正确.

    故选:ACD

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 是等差数列的前项和,已知,则_______.

    【答案】49

    【解析】

    【详解】.

    14. 设双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交两点,若,则的离心率为__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】设直线的方程,与双曲线方程消去并化简.设,利用根与系数的关系得到.通过,得到代入上式消去得关于的等式,结合解之得双曲线的离心率..

    【详解】直线过点,且斜率为直线的方程为

    与双曲线联立

    消去,得

    ,可得

    代入上式得

    消去并化简整理,得

    代入化简,得,解之得

    因此,该双曲线的离心率

    故答案为:

    15. 已知数列的通项公式为,则数列的前项和_______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】利用错位相减法求数列的前项和即可.

    【详解】由数列的通项公式为

    所以数列的前项和为:

    ,①

    则: ,②

    ②:

    所以

    故答案为:.

    16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点AB的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为_____

    【答案】

    【解析】

    【分析】由题意,取点K(﹣2,0),连接OM、MK.由△MOK∽△AOM,可得,推出MK=2MA,在△MBK中,MB+MK≥BK,推出2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|的最小值为BK的长.

    【详解】如图所示,取点K(﹣2,0),连接OM、MK.

    ∵OM=1,OA=,OK=2,∴

    ∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴,∴MK=2MA,

    ∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,

    在△MBK中,|MB|+|MK|≥|BK|,

    ∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长,

    ∵B(1,1),K(﹣2,0),∴|BK|=.

    故答案为

    【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用,坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中档题.

    四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

    17. 已知圆和直线.

    1判断直线与圆的位置关系;

    2求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.

    【答案】1相交    2

    【解析】

    【分析】1)根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果;

    2)当当直线时,直线被圆截得的弦长最短,结合弦长公式即可得到最短弦长及直线的方程.

    【小问1详解】

    因为直线,即恒过定点

    又因为圆,即

    即圆心,半径为

    因为

    所以点在圆内,即直线与圆相交.

    【小问2详解】

    当直线时,直线被圆截得的弦长最短,

    此时可得弦长的一半为

    即最短弦长为

    又因为点横坐标相同,故直线轴,

    则直线的斜率为

    所以直线的方程为

    18. 数列中,.

    1,求证:数列等比数列;

    2求数列的前项和.

    【答案】1证明见解析;   

    2数列的前项和为.

    【解析】

    【分析】1)由条件证明对于任意的为常数即可.

    2)结合(1)的结论求得数列的通项公式,再由分组求和法求和.

    【小问1详解】

    由已知又,所以

    因为

    所以,又

    所以,因为,所以

    所以

    所以数列是首项为1,公比为4的等比数列.

    【小问2详解】

    由(1),可知

    所以数列的通项公式为

    设数列的前项和为,则

    所以

    所以

    所以数列的前项和为.

    19. 已知在中,角的对边分别为,且.

    (1)求的值;

    (2)若,求面积的最大值.

    【答案】(1);(2) .

    【解析】

    【详解】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)经三角变换可得然后运用余弦定理可得从而得到故得

    详解(1)由题意及正、余弦定理得

    整理得

    (2)由题意得

    .          

    由余弦定理得

     ,当且仅当时等号成立.

    面积的最大值为

    点睛:(1)正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查,解题时要注意整体代换的应用,如余弦定理中常用的变形,这样自然地与三角形的面积公式结合在一起.

    (2)运用基本不等式求最值时,要注意等号成立的条件,在解题中必须要注明.

    20. 如图,平面平面.

    1求证:

    2求直线与平面所成角的余弦值.

    【答案】1见解析    2

    【解析】

    【分析】1)由线面平行判定定理得平面,面面平行判定定理平面平面,再由面面平行性质定理解决即可.2)建立空间直角坐标系,空间向量法解决即可.

    【小问1详解】

    证明:

    由题知,平面平面

    所以平面

    因为平面平面

    所以平面平面

    因为平面平面,平面平面

    所以.

    【小问2详解】

    根据题意,建立以为原点,

    分别以得方向为轴,轴,轴正方向得空间直角坐标系,

    因为平面平面

    所以

    所以

    为平面的法向量,

    所以,即,令,可得

    设直线与平面所成角为

    所以

    所以

    所以直线与平面所成角余弦值为.

    21. 己知等比数列的前项和为,且

    1求数列的通项公式;

    2,证明:

    【答案】1   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)令,可得出,令时,由可得两式作差可得推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,求出的值,进而可求得等比数列的通项公式;

    2)求得,利用裂项求和法可证得原不等式成立.

    【小问1详解】

    因为,则当时,

    时,由可得                     

    所以,即        

    因为是等比数列,则该数列的公比为,则

    所以,即

    所以数列的通项公式.

    【小问2详解】

    由(1)得

    所以

    .

    22. 已知抛物线CF为抛物线C的焦点,是抛物线C上点,且

    1求抛物线C的方程;

    2过平面上一动点作抛物线C的两条切线PAPB(其中AB为切点),求的最大值.

    【答案】1   

    2.

    【解析】

    【分析】1)根据焦半径公式求出的值即可得抛物线方程;

    2)首先根据导数的几何意义,求出切线,进而求出直线的方程,根据焦半径公式,将转化成两点纵坐标的关系式,由韦达定理进行化简,从函数的角度运用换元法求其最大值.

    【小问1详解】

    依题意得:

    ,∴

    所求抛物线的方程为

    【小问2详解】

    抛物线的方程为,即

    则切线PAPB的斜率分别为.

    所以切线PA

    ,又

    同理可得切线PB的方程为

    因为切线PAPB均过点,所以

    所以为方程的两组解.

    所以直线AB的方程为.

    联立方程,消去x整理得

    ,∴.

    由抛物线定义可知

    所以

    ∴原式

    即原式的最大值.

    【点睛】关键点睛:

    1)抛物线标准方程的四种形式以及对应的焦半径公式需要掌握;

    2)运用导数的几何意义可以求曲线的切线方程;

    3)直线的求解办法需要认真理解;

    4)对所求式子的合理转化要与韦达定理联系;

    5)求最值时应考虑函数值域求法或者基本不等式.

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