专题11 函数性质综合大题-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题11 函数性质综合大题

【题型一】 “分式型”1：分离常数反比例函数

【典例分析】

已知函数(常数).

(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;

(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.

【变式训练】

已知函数，．

(1)若，使得，求实数的取值范围；

(2)若集合，对于都有，求实数的取值范围．

【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”

【典例分析】

 已知函数，，

(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；

(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；

(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.

【变式训练】

已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．

(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．

【题型三】“分式型”3： 转化为“双曲”

【典例分析】

已知函数是奇函数，且.

(1)求实数的值；

(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；

(3)当时，解关于的不等式：.

【变式训练】

已知函数满足.

(1)求的解析式，并判断其奇偶性；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型

【典例分析】

已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)解不等式：.

【变式训练】

.已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求，的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型

【典例分析】

．已知．

(1)若时，求的值域；

(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．

【变式训练】

求函数的单调区间，并比较与的大小．

【题型六】“分式型”6：判别式法

【典例分析】

已知函数．

(1)解不等式：；

(2)求函数的值域．

 【变式训练】

．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)若不等式在时恒成立，求实数k的最大值；

【题型七】“分式型”7：中心对称求和型

【典例分析】

已知函数．

(1)求，的值；

(2)求证：的定值；

(3)求的值．

【变式训练】

已知函数.(1)求的值；(2)求证：是定值；

(3)求的值.

【题型八】“分式型”8：保值函数

【典例分析】

若函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的倍域函数，称函数的一个倍域区间．已知函数，且关于的不等式的解集为．

(1)求实数，的值；

(2)若（），是否存在（），使得函数为定义域内的某个区间上的倍域函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练】

对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”

(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）

(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；

(3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.

【题型九】分式型结构不良型

【典例分析】

已知______，且函数.

①函数在定义域上为偶函数；

②函数在上的值域为.

在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.

【变式训练】

已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）

①已知函数，满足；

②已知函数在上的值域为；

③已知函数，若在定义域上为偶函数．

(1)判断在上的单调性；

(2)解不等式．

【题型十】含绝对值型

【典例分析】

已知函数是定义在上的偶函数，且.

（1）求的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；

（3）解不等式.

【变式训练】

已知函数

（1）写出函数的单调区间；

（2）若在恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在上值域是，求实数的取值范围．

培优第一阶——基础过关练

1.已知函数

(1)判断的奇偶性；

(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围.

2．已知函数，函数为R上的奇函数，且.

(1)求的解析式：

(2)判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：

(3)若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.

3．已知.

(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；

(2)证明：函数在区间上是严格增函数.

4．已知函数.

(1)判断的奇偶性，并证明；

(2)证明：在区间上单调递减.

5．已知定义在上的函数.

(1)求证：是奇函数；

(2)求证：在上单调递增；

(3)求不等式的解集.

培优第二阶——能力提升练

1.已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性．

(3)解关于t的不等式：．

2.已知函数（且）．

(1)当的定义域为时，求函数的值域；

(2)设函数，求的最小值．

3.已知函数．

(1)用定义证明函数在区间上单调递增；

(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．

4.已知函数是奇函数，是偶函数.

(1)求.

(2)判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.

(3)若函数满足不等式，求出t的范围.

培优第三阶——培优拔尖练

1.已知函数是奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)判断函数的单调性，并证明你的结论；

(3)若，，且．求证．

2.已知函数是其定义域内的奇函数，且，

(1)求的表达式；

(2)设，求的值．

3.已知定义在上的函数为偶函数.

(1)求的值；

(2)判断在上的单调性（不用证明）；

(3)已知函数，，若对，总有，使得成立，试求实数的取值范围.

4.设，.

(1)若在区间上是单调函数，求a的取值范围；

(2)若存在，使得对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.