高三物理总复习知识讲解曲线运动运动的合成和分解基础

物理总复习：曲线运动、运动的合成和分解

编稿：李传安       审稿：张金虎

【考纲要求】

     1、知道物体做曲线运动的条件，并会判断物体是否做曲线运动；

     2、掌握运动的合成、运动的分解基本方法；

     3、掌握“小船靠岸”、“小船过河”两种基本模型，会解决类似实际问题。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、曲线运动
1、曲线运动
　　物体运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。
2、曲线运动的速度方向
　　曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向。
3、曲线运动的性质
　　做曲线运动的物体，速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
4、物体做曲线运动的条件
　　从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动；从动力学角度来说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。
要点诠释：如图所示，物体受到的合力F跟速度方向成角（）。

将力F沿切线方向和垂直切线方向分解为和，可以看出分力使物体速度大小发生改变，分力使物体的速度方向发生改变。即在F的作用下，物体速度的大小和方向均改变，物体必定做曲线运动。

　①当或180°时，，方向不变，物体做直线运动。②当时，=0，大小不变；，方向改变，物体做速度大小不变、方向改变的曲线运动，即匀速圆周运动。　　③当时，使物体速度增加，此时物体做加速运动；当时，分力使物体速度减小，此时物体做减速运动。

　　例、下列说法正确的是（ ）
　　A．曲线运动的速度大小可以不变，但速度方向一定改变
　　B．曲线运动的速度方向可以不变，但速度大小一定改变
　　C．曲线运动的物体的速度方向不是物体的运动方向
　　D．曲线运动的物体在某点的速度方向即为该点的切线方向
【答案】AD
【解析】在曲线运动中，物体在任何一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向，所以曲线运动的速度方向一定变化。但曲线运动的速度大小可以不变，也可以变化。曲线运动的物体的速度方向就是物体的运动方向。
考点二、运动的合成和分解

1、运动的合成与分解
　　已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。
分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法．
要点诠释：合运动与分运动的关系
　　（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。例如：平抛运动水平方向与竖直方向的时间相等。
　　（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
　　（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。
2、合运动的性质和轨迹的判定
　　合运动的性质和轨迹：由合初速度和合加速度共同决定。
要点诠释：（1）两个匀速直线运动的合运动为一匀速直线运动。因为。    
（2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为恒量。若二者共线，则为匀变速直线运动，如竖直上抛运动；若二者不共线，则为匀变速曲线运动，如平抛运动。（3）两个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为恒量。若合初速度与合加速度共线，则为匀变速直线运动；若合初速度与合加速度不共线，则为匀变速曲线运动。 

根据力与运动的关系的判断：物体运动的形式，按速度分类有匀速和变速；按轨迹分类有直线和曲线。运动的形式决定于物体的初速度和合外力F，具体分类如下：
（1）F=0：静止或匀速运动；（2）F≠0：变速运动；（3）F为恒量时：匀变速运动；
（4）F为变量时：非匀变速运动；（5）F和的方向在同一直线时：直线运动；      
（6）F和的方向不在同一直线时：曲线运动。
实例分析：小船渡河问题的分析与求解方法                  

小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。    
　　处理方法分为两种，其一是根据运动的实际效果去分析，其二是利用正交分解法去分析。
要点诠释：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动速度）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动，速度)，船的实际运动是合运动（）。

（1）若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示：

此时过河时间 （d为河宽），此时小船一定在对岸下游处靠岸。

由上式可以看出：过河时间与水流速度无关，在对岸下游处靠岸的距离 ，与船速无关，是由水流速度决定的。

（2）若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图所示：

此时过河时间    。                   

同时可以看出若要能垂直于河岸过河，必须使、和构成三角形，即满足，也就是船在静水中的速度要大于水速。

例、小船在静水中的行驶速度是，现在小船朝对岸垂直航行。当船行至河的正中间时，河水的流速突然增大一倍，则渡河时间比原来预定时间相比（　 ）
　　A. 增加　　　　 B. 不变     　C. 减小　　　　 D. 因未给河水流速，无法确定

【答案】B

【解析】渡河时间是由船速决定的，与水流速度无关，所以渡河时间不变。

【典型例题】

类型一、做曲线运动的条件

例1、下列关于曲线运动的描述中，正确的是（　 ）
　　A. 物体受变力作用才可能做曲线运动        　

B. 物体受恒力作用也可能做曲线运动
　　C. 物体只要受到合外力作用就一定做曲线运动
　　D. 物体所受合外力为零，不可能做曲线运动
【答案】 BD

【解析】物体受恒力作用也可能做曲线运动，如平抛运动，只受恒定的重力作用，轨迹是曲线。A错，B正确。匀加速、匀减速直线运动都是受合外力作用的，C错。物体所受合外力为零，为静止或匀速直线运动状态，不可能做曲线运动，D正确。

类型二、轨迹与合外力方向的判断

要想迅速而又正确地解答此类问题，关健就是要抓住物体做曲线运动的条件——物体所受合外力的方向跟速度方向不共线，且方向指向曲线“凹侧”。
　　例2、（2015  江苏卷）一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左，不计空气阻力，则小球

A．做直线运动   B．做曲线运动   C．速率先减小后增大，D．速率先增大后减小

【答案】BC

【解析】小球受重力和电场力，合力方向左下，初速度与合力不在同一直线，所以小球做曲线运动。初阶段，合力与速度夹角为钝角，速率减小，后来，合力与速度夹角为锐角，速率增大，所以速率先减小后增大。

【点评】本题考查曲线运动，难度：中等

举一反三
【变式】质点做曲线运动，它共受到两个恒力和作用，图中画出了它的运动轨迹及在某点处受力的示意图，其中正确的是（ ）

　
【答案】 D

【解析】对于B，质点所受的两个力的合力与质点的速度方向在同一条直线上，质点不可能做曲线运动，B错。对于C，质点所受的两个力的合力方向没有指向轨迹的凹侧，C错。

对于A、D，由平行四边形法则，作出质点所受的两个力的合力。如图，A中，沿合力的方向作直线交轨迹于P点，质点轨迹不在速度与合力之间，A错；D中，质点的轨迹在速度与合力方向之间，D对。故本题正确选项为D。

【高清课堂：曲线运动、运动的合成和分解例5】

例3、如图所示，一个物体在O点以初速度开始作曲线运动，已知物体只受到x轴方向的恒力F作用，则物体速度大小变化情况是（  ）

A. 先减小后增大            B. 先增大后减小

C. 不断增大                D. 不断减小

【答案】A

【解析】将速度进行正交分解为和，如图，与恒力F垂直的速度不变，与恒力F平行的力改变的大小，应该先减小到零后再反向变大，所以只有A对。

【总结升华】将速度进行正交分解是解题的一种基本方法，在曲线运动中尤为重要，力与速度垂直时，速度大小不变，如匀速圆周运动（向心力与线速度垂直），平抛运动（初速度与合力即重力垂直）。

类型三、绳子末端速度的分解

在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度（合速度就是物体实际运动的速度）；其次由物体的实际运动确定其是由哪些分运动合成的，从而找出相应的分速度。
　　一般的分解思路，沿着绳子方向和垂直于绳子方向将实际运动分解即可。

例4、如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为，当OA绳与水平方向夹角为时，求：
　　（1）车B运动的速度多大？
　　（2）车B是否做匀速运动？

【答案】

【解析】船的前进速度产生了绳子的下拉速度（沿绳的方向）和绳子以滑轮为轴的转动速度，车前进的速度取决于由于船前进而使OB绳子变短的速度。

（1）把分解为一个沿绳子方向的分速度和一个垂直于绳的分速度，如图所示，所以车前进的速度应等于的分速度，

即。
　　（2）当船匀速向前运动时，角逐渐减小，车速将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
【总结升华】在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度。合速度就是物体实际运动的速度。

举一反三
【变式1】（2016 山西 阳泉模拟）如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河的宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船安全渡河（不掉到瀑布里去）：（  ）

    A. 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为。速度最大，最大速度为

B. 小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小。速度最大，最大速度为

C. 小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最长。速度最小，最小速度

D. 小船沿轨迹AB运动位移最大，速度最小。最小速度

【答案】D

【解析】当小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为：，A错；小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，为a，但沿着船头指向的分速度必须指向上游，合速度不是最大，B错；由图，小船沿轨迹AB运动位移最大，但时间的长短取决于垂直河岸的速度，故时间不一定最短，C错；要使小船得合速度沿轨迹AB运动位移显然最大，速度最小：最小速度，D正确。

故选D。

【高清课堂：曲线运动、运动的合成和分解例6】

【变式2】如图所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）

A. 加速拉            B. 减速拉

C. 匀速拉            D. 先加速，后减速

【答案】B

【解析】船的速度适合速度，将正交分解为和，求

设绳子与水平方向的夹角为，

船靠近，变大，减小，船匀速靠岸不变，所以减小，

即减速拉船，B对。

类型四、小船过河问题的分析

解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动。由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。
　　一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短；二是合速度垂直河岸时渡河位移最小。但如果，船头无论指向何方都不会垂直到达对岸，此时若求渡河的最小位移，会有一定难度。
　  例5、一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。

【答案】200米

【解析】设河宽为d，河水流速为，船速为， （1） 

水速     河宽   （2）

第二次过河如图        

河宽   （3）

解（2）（3）  得   

求出       即：船头与河岸间的夹角 （4）

又 （5）    船在静水中的速度 代入（2）  

河宽： 

【总结升华】小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

举一反三
【变式1】河宽d＝100 m，水流速度，船在静水中的速度是。求：
　　（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移多大?
　　（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河?渡河时间多长?   
【答案】（1）船应沿垂直于河岸的方向渡河，渡河时间最短， 

（2）应将船头偏向上游，船头与河岸间的夹角，实际位移（合位移）与河岸垂直， 

【解析】（1）　船应沿垂直于河岸的方向渡河，

    
船经过的位移大小：       
（2）欲使船航行距离最短，需使船的实际位移（合位移）

与河岸垂直，设此时船的开行速度地与岸成角，如图所示。

则   
　
渡河时间    。 （或  ）  

【高清课堂：曲线运动、运动的合成和分解例2】

【变式2】 某船在静水中的速率为3m/s,要横渡宽为30m的河,河水的流速为5m/s。下列说法中正确的是（ ）

A．该船不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸 B．该船渡河的最小速度是4m/s

C．该船渡河所用时间至少是10s             D．该船渡河所经位移的大小至少是50m

【答案】ACD

【解析】水速大于船速，船不可能垂直到达正对岸，A对。该船渡河的速度

  即 ，最小速度为，B错误。

船渡河最短时间是船头垂直于河岸渡河，最短时间，C对。

最小位移：当 时，用三角形法则分析，如图所示，当船速的方向与圆相切时，

与岸的夹角最大，航程最短。设航程最短为，

则由图可知，  所以      D对。

    船头指向斜上游，与岸夹角。答案为ACD。

【总结升华】当 时，求最短航程都采用这种方法，对 求可以理解为相似三角形对应边的比，也可以理解为最大夹角的正弦的比。

【变式3】小船在静水中的速度，它要渡过一条水流速度，河宽150 m的河流，若认为河流笔直且足够长，则可断定（ ）
　　A．小船可能到达出发点的正对岸　          B．小船渡河的最短位移是150 m
　　C．小船渡河时间不能少于50s　　          D．小船根本不可能渡河到达对岸

【答案】C              

【解析】当船头与河岸垂直时，小船过河时间最短，其最短时间为，C对；

由于，所以小船无法到达出发点的正对岸，故A错；当船的划行速度与合速度

垂直时，过河位移最短，如图所示。

此时，     

而最短位移为，B错。故正确答案为C。