江苏省苏州市吴江汾湖高级中学等重点中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题

江苏省苏州市吴江汾湖高级中学等重点中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．“”成立的一个必要不充分条件为（    ）

A． B． C． D．

3．已知的内角所对的边分别为满足且，则（    ）

A． B． C． D．

4．在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（   ）

A． B．  C． D．

5．设，则 =（    ）

A． B． C． D．

6．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．若，则的最小值为4

B．若，则的最小值为3

C．若，则的最大值为5

D．若，则的最大值为2

10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的最大值为2

C．在区间上单调递增

D．为偶函数

11．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则△为等边三角形

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，曲线在点处的切线方程为

B．若对任意的，都有，则实数的取值范围是

C．当时，既存在极大值又存在极小值

D．当时，恰有3个零点，且

三、填空题

13．命题“，”的否定是______．

14．已知向量，，若，则_________．

15．若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．

四、双空题

16．如图所示，四边形ABCD是由等腰直角三角形BCD以及直角三角形ABD拼接而成，其中，，若，则______，A到C的距离为______．

五、解答题

17．已知向量，函数.

(1)求的单调增区间；

(2)设，若，求的值.

18．（1）已知，求的最小值．

（2）求关于x的不等式的解集：．

19．已知函数是上的偶函数

(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；

(2)求函数在,上的最大值和最小值．

20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现给出两个条件：

①；

②．

要求你从中选出一个条件，并以此为依据解下面问题：

(1)求A的值；

(2)若，D为BC中点，且，求的面积．

21．已知函数．

(1)证明：；

(2)设函数，，其中．若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．

22．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若有两个不同的零点

①求实数k的取值范围：

②求证：.

参考答案：

1．B

【分析】求出及其补集，通过交集运算求得结果.

【详解】集合或，

，

又，

所以

故选：B．

2．C

【分析】由题可得，然后利用充分条件，必要条件的定义分析即得.

【详解】由，得，

所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件.

故选：C.

3．D

【分析】利用余弦定理边化角求得，由此可得，利用正弦定理可求得结果.

【详解】由得：，

，，由正弦定理得：.

故选：D.

4．B

【分析】根据三点共线得，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】因为是线段上一点（不与顶点重合），若，

所以且，

所以，当且仅当，即，时等号成立，

故选：B．

5．D

【分析】利用和差角的正弦公式和辅助角公式对进行化简，可得，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案

【详解】解：即，所以即，

所以，

故选：D

6．B

【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，逐个检验即可得出答案.

【详解】因为.

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，

所以有，所以，

所以有，.

对于A项，令，即，解得，A项错误；

对于B项，令，即，解得，B项正确；

对于C项，令，即，解得，C项错误；

对于D项，令，即，解得，D项错误.

故选：B.

7．C

【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，并求得的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.

【详解】图象关于点对称，，

又为上的偶函数，，，

，

是周期为的周期函数，

，又，，

.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值.

8．A

【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立.

令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.

因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.

设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】关键点睛：利用构造函数结合导数的性质是解题的关键.

9．CD

【解析】对于A，由于，所以对变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，D利用基本不等式判断即可

【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当取等号，所以有最大值，所以A错误；

对于B，，而不成立，所以的最小值不等于3，而其最小值为，

对于C，由可知，得，当且仅当时取等号，的最大值为5，所以C正确；

对于D，由于，所以，即，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为2，

故选：CD

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

10．BC

【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【详解】由图知，的最小正周期，则.

由，得.由，得，则，所以.

当时，，则单调递增.

因为，则不是偶函数，

故选：BC．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.

11．ACD

【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.

【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；

B：当时，有，错误；

C：，而，即，由正弦定理易得，正确；

D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.

12．BCD

【分析】根据导数的几何意义即可判断A；对于B，由题意知在上单调递增，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可判断；对于C，结合B选项，根据极值的定义判断即可；对于D，结合C，再根据零点的存在性定理分析即可判断.

【详解】解：对于A，当时，，所以，，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，故A错误；

对于B，因为对任意的，都有，

所以在上单调递增，

即在上恒成立，

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得最小值，

所以，解得，

即实数的取值范围是，故B正确；

对于C，当时，由B选项知，，

令，，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

所以，

又在上单调递减，所以存在，使得，

又，

又在上单调递增，所以存在，使得，

所以当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

故既存在极大值又存在极小值，故C正确；

对于D，因为，

由C选项知，，

当时，；当时，，

故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，），

又

，

故有，则，

即当时，恰有3个零点，且，故D正确．

故选：BCD．

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性问题及极值问题，考查了利用导数解决函数的零点问题，有一定的难度.

13．，

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：命题“，”为全称量词命题，

其否定为：，.

故答案为：，

14．

【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】因为向量，，

若，则有，解得，

故答案为：．

15．

【分析】求导后，转化为在上有解，转化为在上有解，利用函数单调性求出的最大值即可得解.

【详解】，

则原向题等价于在上有解，即在上有解，

即在上有解，

因为，且在上单调递减，

所以当时，，

所以.

故答案为：

16．     ；     .

【分析】（1）利用二倍角的正切公式求出，即得；

（2）先求出，，再利用余弦定理求解.

【详解】因为，

故（舍去)；

而，故；

因为是等腰直角三角形，故，，

故，；

在中，，

由余弦定理得．

故答案为：；

17．(1)

(2)

【分析】（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得的解析式，根据正弦函数的单调性即可求得答案；

（2）由可求得，继而求得，再利用三角函数的二倍角公式求得，，从而将化为，即可求得答案.

【详解】（1）因为，

所以，

,

令，解得，

即的单调增区间为；

（2）由（1）可知，，则，

因为，所以，所以，

所以，

所以，

所以，

即.

18．（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．

【分析】（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．

【详解】解：（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为8．

（2），

当时，不等式为，解集为，

时，不等式分解因式可得，

当时，故，此时解集为．

当时，，故此时解集为，

当时，可化为，又，

解集为．

当时，可化为，

又，解集为，

综上所述：时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为．

19．(1)，单调递增

(2)最小值，最大值

【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性.

（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值.

【详解】（1）若函数是上的偶函数，则，

即，解得，

所以，

函数在上单调递减．

（2）由（1）知函数在上单调递减，

又函数是上的偶函数，

所以函数在,上为增函数，

所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．

又

所以

20．(1)任选一条件，都有

(2)

【分析】（1）若选择①，根据正弦定理边化角可得，根据两角和的正弦公式，诱导公式，化简整理，结合角A的范围，即可得答案；若选择②，根据诱导公式，两角和的正切公式，化简整理，结合角A的范围，即可得答案；

（2）由题意得，左右同时平方，结合数量积公式及题干条件，可得c值，代入面积公式，即可得答案.

【详解】（1）若选择①，由正弦定理可得，

可将已知条件转化为

即，

所以．

在中，有，

故，

所以，

又，所以，

故，

又，所以．

若选择②

在中，有，

所以

即，

所以．

又由已知条件得，

又A，B，，所以，所以

所以．

（2）因为，

故，即

代入数据得，

解得或（舍去），

所以，

即的面积为．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过二次导数求函数最小值可证；

（2）求导，分类讨论求极小值，然后可得.

【详解】（1）．令，则．

∵，，

∴恒成立，即在R上为增函数．

又，

∴当时，有；当时，有．

∴函数在区间上为减函数，在上为增函数．

∴，

∴．

（2）

．

由（1）知在R上为增函数．

∴当时，有，即；

当时，有，即．

（i）当时，∵在R上恒成立，

∴当时，；当时，．

∴函数在上为减函数，在上为增函数．

∴，即；

（ii）当时，由，解得，，且在R上单调递减．

①当时，．

∵当时，有；当时，有；当时，有，

∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．

∴．不符合题意；

②当时，．

∴时，有恒成立，故在R上为减函数．

∴函数不存在极小值点，不符合题意；

③当时，．

∵当时，有；当时，有；当时，有，

∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．

∴．不符合题意．

综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．

【点睛】导数中分类讨论问题通常从以下两个方向进行：

1、根据导函数是否存在零点进行分类；

2、根据导函数的零点的大小关系分类.

22．(1)答案见解析；

(2)①；②证明见解析.

【分析】（1）分类讨论实数的取值范围，利用导数求解函数的单调区间即可;

（2）由（1）可得，为函数的最小值，结合已知，只需求解即可；根据题意将不等式转化为，令，构造函数，利用导数求解函数的单调性，只需证明恒成立即可.

【详解】（1）解：因为，则，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，令，解得，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增.

（2）解：①由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又当时，，当时，，

故为函数的最小值，

因为有两个不同的零点，

所以，解得：，

故实数k的取值范围为：.

②证明：由已知得，整理得：，

设，要证，即证，

即证，需要证，

令，即证对任意的恒成立，

令，其中，则，对任意的恒成立，

故函数在上单调递增，

当时，，

所以当时，，

即，故原不等式得证.