2022-2023学年江苏省苏州市高级中学高三上学期12月阶段性检测数学试题（word版）

2022~2023学年第一学期苏州市阶段性检测     2022.12

                                  高 三 数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（    ）．（氟原子的大小可以忽略不计）

A． B． C． D．

3．已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（    ）

A． B．17 C． D．15

4．已知点，是与方向相同的单位向量，则在直线上的投影向量为（    ）

A．          B．            C．          D．

5．已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ）

A．B． C． D．

7．已知，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．  

8．已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　）

A．（-1，0）          B．（1，4）           C．（0，6）         D．（-1，5）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分。

9．如图所示，已知几何体是正方体，则（    ）

A．平面 B．平面

C．异面直线与所成的角为60° D．

10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（    ）

A．B的最小值为 B．

C． D．的取值范围为

11．已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（    ）

A．椭圆的离心率的取值范围是

B．椭圆上存在点使得

C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为

D．的最小值为

12．设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为 B．

C．曲线存在对称轴 D．曲线存在对称中心

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知是第四象限角，且，则___________.

14．已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________.

15．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

16．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为________________

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)

设数列的前项和为，若，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，证明：

18．(12分)

在中，角的对边分别为已知.

(1)求角的大小；

(2)边上有一点，满足，且，求周长的最小值.

19．(12分)

已知直三棱柱，，，．

(1)证明：∥平面；

(2)当最短时，求二面角的余弦值．

20．(12分)

在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．

(1)若cos∠CBD＝，求；

(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值．

21．(12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M， N，记和的面积分别为S1和S2.

（i）求证：存在常数λ，使得成立；

（ii）求S2- S1的最大值.

22．(12分)

已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)记，存在满足，证明：

①存在唯一极小值点；

②.

参考答案：

1．B

2．D

3．A

4．A

5．D

6．A

7．A

8．D

9．BC

10．BC

11．ABD

12．ABC

13．

14．8

15．13

16．A

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据的关系即可得，进而根据是等比数列得，进而得，

（2）根据错位相减法即可求解，进而可证明.

【详解】（1）由得，当时，

两式作差得：，即，即，

令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．

所以，， 即．故 ．

（2）由（1）知

两式作差得：

所以．

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；

（2）利用数量积的定义得到，求出.由面积相等得到.整理出周长

，令， ，得到，利用单调性法求出的周长最小值.

【详解】（1），由正弦定理得：.

.

.

（2），

化简得：周长

令，即

又由复合函数单调性知在时单调递增

当时，.

即的周长最小值为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，以为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，求两向量的数量积可得结论；

（2）先求出的最小值，从而可得，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）直三棱柱中，，

以为正交基底如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

所以．

因为，

所以，

所以．

因为平面，

所以平面的一个法向量为．

因为，平面，

所以∥平面ABC．

（2）由（1）得，．

当时，最短，所以，．

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，，

所以平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，令，则，

设二面角的平面角为，则

，

由图可知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.

（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.

【详解】（1）

如图，，设，，得

，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，

（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，

四边形ABCD的面积为，得

.

当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.

21．(1)

(2)(i) 存在常数 ，使得成立；

(ii) 的最大值为 .

【分析】(1)求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出 ，然后就可以得到椭圆的标准方程；

(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出 的y坐标值与P的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理 当且仅当 时取等号，求最大值.

【详解】（1）先求第一象限P点的坐标：

，所以P点的坐标为 ，

所以 ，

所以椭圆E的方程为

（2）设 ，

易知直线 和直线的坐标均不为零，

因为 ，所以设直线的方程为 ，直线的方程为，

由

所以 ，因为，，

所以

所以

同理由

所以 ，因为，，

所以

所以，

因为 ，，

(i)所以

所以存在常数 ，使得成立.

(ii)

，

当且仅当 ，时取等号，

所以 的最大值为 .

22．(1)；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】（1）求得以及，结合导数的几何意义，直接写出切线方程即可；

（2）①对参数分类讨论，且当时，构造函数，根据其与的交点个数，从而判断有且仅有一个根，即可证明；

②根据已知条件，构造函数，从而对已知条件进行放缩后只需证明，令，再次构造函数，即可通过，证明所证不等式.

【详解】（1）当时，

，故切线方程为：，

即.

（2）

①当

故恒成立，在上递减，不满足且这一条件；

当时，存在 ， ，

下证有且仅有一根.

只有一个交点.

恒成立，故在上递减，

仅有唯一交点.

此时存在满足，

且当 ， ，

故存在唯一极小值点.

②由题意知，

，

令 单调递增，

，

，

欲证，即证，

只需证：成立，

两边同除，令

即证，

设

综上：成立，即成立.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值点问题，以及证明不等式；其中第二问处理的关键是构造函数进行适度的放缩，以及在证明时，令，使得双变量问题转化为单变量问题进行处理，属综合困难题.