2023济南外国语学校高一上学期12月月考数学试题含解析

2022-2023学年度第一学期模块考试

高一数学试题

2022.12

一､单选题（每题5分，只有一个选项正确）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解出集合A、B，再求.

【详解】因为，，

所以.

故选：A

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】特称命题的否定为全称命题,

全称命题的否定为特称命题.

【详解】命题“，”的否定为，.

故选：C

【点睛】要区别命题的否定和否命题，特别是全称命题和特称命题的否定.

3. 已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解

【详解】因为为奇函数，所以，

所以原不等式可化为，

即，因为单调递增，且，

所以，解得.

故选：C

4. 已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在上的增函数，即可判断出答案.

【详解】因为函数为R上单调增函数，故，而，

由于是定义在上的增函数，故，

即.

故选：A.

5. 函数在上的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案

【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，

又，排除选项CD，

故选：A

6. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ）

A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

设投资这两座城市收益为，

则有，

令，则有，

该二次函数的对称轴为，且开口向下，

所以，

故选：B

7. 设满足，满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，令，则，设，利用的单调性，可得，，即可得出答案.

【详解】根据题意，

令，则，

即，

因为函数在上单调递增，

又满足，

所以，

所以，

即，

所以.

故选：D.

8. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性、周期性和对称性，作出函数的图像，将方程的解转化为两个函数图像的交点，利用数形结合以及交点个数列出不等式组，即可得出的取值范围.

【详解】由，所以函数的周期为，

又函数为偶函数，所以，

即函数的图像关于直线对称；所以，

由（）得：，令（）；

作出函数和函数的图像，如图所示：

由图像可知，要使方程（）恰有3个不同的实数根，

则有，即，所以，即，

故选：D.

二､多选题（全部选对得5分，对但是不全得2分）

9. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项判断即可得解.

【详解】对A，，，故A错误；

对B，由对数运算性质可知，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，由换底公式可知，，故D正确.

故选：BD

10. 下列函数中，在上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.

【详解】画出函数图象如图所示，

由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．

故选:AD．

11. 已知，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据基本不等式逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确，

对于B，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误，

对于C，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确，

对于D，因为，，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确，

故选：ACD

12. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A. 实数的取值范围为 B.

C.  D. 的最大值为

【答案】AC

【解析】

【分析】画出的图象，数形结合得到，且，关于，，再运用基本不等式求出的最大值，得到AC正确.

【详解】画出的图象，如下：

要想与有三个不同的交点，需要，A正确；

由题意可知，且关于对称，

故，B错误，C正确；

则，解得：，当且仅当时等号成立，

但，故等号取不到，

故，D错误，

故选：AC.

三､填空题（每题5分）

13. 函数的零点个数为________．

【答案】1

【解析】

【分析】解法一，将函数的零点转化为函数与图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；

解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.

【详解】解法一：令，可得方程，即，

故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．

在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．

由图可知，函数与的图象只有一个交点，

故函数只有一个零点，

故答案为：1

解法二：∵，，

∴，

又的图象在上是不间断的，

∴在上必有零点，

又在上是单调递增的，

∴函数的零点有且只有一个，

故答案为：1

14. 函数的定义域为___．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组，求出解集即可．

【详解】要使函数有意义，则，解得，所以，所以函数的定义域为．

故答案为：．

15. 已知是定义在R上的奇函数，时，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值．

【详解】，

，

故答案为：．

16. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立.则的解集为_________

【答案】

【解析】

【分析】由题意，设函数，得函数在上的单调递增函数，进而得到函数为偶函数，即可求解当时，不等式等价于的解集，以及当时，的解集，即可得到答案.

【详解】由题意，设函数，由对于任意，都有成立，则可得函数在上的单调递增函数，

又由函数为定义在上的奇函数，

则函数，即函数为偶函数，

又由，则，且，

又由，可知：

当时，不等式等价于，即，解得；

当时，不等式等价于，即，解得

即不等式的解集为.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

四､解答题

17. 化简下列式子并求值:

（1）;

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)将式子用对数运算公式等展开合并化简即可求值;

(2)将式子用分数指数幂运算公式等,进行化简求值即可.

小问1详解】

解:原式为

;

【小问2详解】

原式为

.

18. 已知函数

（1）求的值；

（2）在坐标系中画出的草图；

（3）写出函数的单调区间和值域.

【答案】（1）5    （2）见解析   

（3）减区间为，增区间为；值域为

【解析】

【分析】（1）先求，再求可得答案；

（2）分段作出图象即可；

（3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域.

【小问1详解】

因为，所以，

所以.

【小问2详解】

草图如下：

小问3详解】

由图可知，减区间为，增区间为；

当时，；

当时，为减函数，所以；

当时，为增函数，所以；

所以的值域为.

19. 已知幂函数在上单调递增

（1）求m的值；

（2）若，且，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）8

【解析】

【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.

(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.

【小问1详解】

由幂函数的定义得：，或，

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；

当时，在上单调递增，符合题意；

综上可知：.

【小问2详解】

当且仅当且时，即时，的最小值为8.

20. 已知函数是定义在R上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上单调递减.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；

（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论

【小问1详解】

因为函数是奇函数，

所以，所以，则，

此时，所以，解得，

所以；

【小问2详解】

证明：，且，

则，

∵

∴，，则，

又

∴，即，

所以在上单调递减.

21. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并给予证明；

（3）求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；   

（2）函数为奇函数，证明见解析；   

（3）见解析.

【解析】

【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.

【小问1详解】

根据题意，函数，

所以，解可得，

所以函数的定义域为；

【小问2详解】

由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，

因为函数，

所以，

所以函数为奇函数.

【小问3详解】

根据题意，即，

当时，有，解可得，此时不等式的解集为；

当时，有，解可得，此时不等式的解集为

所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

22 已知函数.

（1）解不等式；

（2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围；

（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由换元法求解，

（2）参变分离后转化为求值域问题，

（3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解，

【小问1详解】

设，则不等式可化为，解得，

则，故原不等式的解集为

【小问2详解】

即在上有解，

而，，故，

即m的取值范围是

【小问3详解】

由题意得，，

解得，，

故原不等式即对恒成立，

令，不等式可化为对恒成立，

，而，由对勾函数性质得当时取最大值，

则，实数a的取值范围是