【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题28　解析几何中优化运算的方法

这是一份【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题28　解析几何中优化运算的方法，共20页。学案主要包含了基本技能练等内容，欢迎下载使用。
1.焦点三角形的面积、离心率
(1)设P点是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则
①|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1＋cs θ)；
②S△PF1F2＝b2tan eq \f(θ,2)；
③e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).
(2)设P点是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则①|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1－cs θ)；
②S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))；
③e＝eq \f(sin ∠F1PF2,|sin ∠PF1F2－sin ∠PF2F1|).
2.中心弦的性质
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1.
3.中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝eq \f(p,y0).
4.焦点弦的性质
(1)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则椭圆的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,（λ＋1）cs α))).
(2)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于|eq \f(λ－1,（λ＋1）cs α)|.
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为eq \f(p,1－cs θ)，eq \f(p,1＋cs θ)，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ).
类型一 回归定义，彰显本质
当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.
例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程.
解 设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故结合抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
由题设可得x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9)，
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，解得t＝－eq \f(7,8)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
训练1 如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 由已知，得F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
设双曲线C2的实半轴长为a，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF1|＋|AF2|＝4，,|AF2|－|AF1|＝2a，,|AF1|2＋|AF2|2＝12，))
解得a2＝2，故a＝eq \r(2)，.
所以双曲线C2的离心率e＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2).
类型二 设而不求，整体推进
在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算.
例2 已知点M到点F(3，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小2.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点P(m，0)(m>0)作互作垂直的两条直线l1，l2，它们与(1)中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求△PGH面积的最小值.
解 (1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，则知eq \f(p,2)＝3，解得p＝6，故M的轨迹E的方程为y2＝12x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有yeq \\al(2,1)＝12x1，yeq \\al(2,2)＝12x2，
以上两式作差，并整理可得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(12,y1＋y2)＝eq \f(6,yG).
即kAB＝eq \f(6,yG)，同理可得kCD＝eq \f(6,yH)，
易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，
又由于l1⊥l2，
可得kAB·kCD＝eq \f(36,yGyH)＝－1，
即yGyH＝－36，
所以S△PGH＝eq \f(1,2)|PG|·|PH|＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,AB)))|yG| ·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,CD)))|yH|
＝18eq \r(2＋\f(1,keq \\al(2,AB))＋\f(1,keq \\al(2,CD)))≥18eq \r(2＋\f(2,|kABkCD|))
＝18eq \r(2＋2)＝36，
当且仅当|kAB|＝|kCD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36.
训练2 射线OA，OB的方程分别为y＝eq \r(3)x(x≥0)和y＝－eq \r(3)x(x≥0)，线段|CD|＝4eq \r(3)，它的两个端点分别在OA，OB上移动，则CD的中点M的轨迹方程是________.
答案 eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,4)＝1(eq \r(3)≤x≤2)
解析 设C(x1，eq \r(3)x1)，D(x2，－eq \r(3)x2)，M(x，y)，
则x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(\r(3)（x1－x2）,2)，
由|CD|＝4eq \r(3)得(x1－x2)2＋3(x1＋x2)2＝(4eq \r(3))2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y,\r(3))))eq \s\up12(2)＋3(2x)2＝48，
∴eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,4)＝1(eq \r(3)≤x≤2).
类型三 换元引参，迂回向前
结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.
例3 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq \r(3).
证明 法一 设P(acs θ，bsin θ)(0≤θ0，kx0≠0，
所以eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(k2xeq \\al(2,0),a2)b>0，
故(1＋k2)2>4k2＋4，
即k2＋1>4，
因此k2>3，所以|k|>eq \r(3).
训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1，0)，若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝( )
A.2eq \r(3) B.2eq \r(5)
C.2 D.4
答案 D
解析 由于抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，
则有4＝2p，解得p＝2，
设直线l的倾斜角为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
根据焦半径公式，
可得|AF|＝eq \f(2,1－cs α)，|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)，
由于以QF为直径的圆经过点B，则有BQ⊥BF，在Rt△QBF中，|BF|＝2cs α，
则有|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)＝2cs α，
即1－cs2α＝cs α，
所以|AF|－|BF|＝eq \f(2,1－cs α)－eq \f(2,1＋cs α)＝eq \f(4cs α,1－cs2 α)＝eq \f(4cs α,cs α)＝4，故选D.
类型四 应用结论，事半功倍
圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题.
例4 (1)(2022·西安调研)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14
C.12 D.10
答案 A
解析 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2θ)，|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(4,cs2θ)，
∴|AB|＋|DE|＝eq \f(4,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)＝eq \f(4,sin2θcs2θ)≥eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,2)))\s\up12(2))＝16，
当且仅当sin2θ＝cs2θ，
即sin θ＝cs θ，θ＝eq \f(π,4)时取“＝”.
(2)(2022·银川调研)已知P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，S△F1PF2＝4eq \r(3)；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，则椭圆的标准方程为________.
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，由题意知S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2)，
即4eq \r(3)＝b2taneq \f(π,6)，所以b2＝12.
当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，
所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.
由tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，得eq \f(|F1F2|,|PF2|)＝eq \f(4,3)，
即n＝eq \f(3c,2)，
则m＝eq \f(5,2)c，且n＝eq \f(b2,a)＝eq \f(12,a).
所以联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)＋\f(5c,2)＝2a，,\f(3c,2)＝\f(12,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以椭圆标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
训练4 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,aeq \\al(2,1))＋eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>b1>0)，
双曲线方程为eq \f(x2,aeq \\al(2,2))－eq \f(y2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，
焦距为2c(c>0)，
根据焦点三角形的面积公式可得beq \\al(2,1)tan eq \f(π,6)＝eq \f(beq \\al(2,2),tan \f(π,6))，
即beq \\al(2,1)＝3beq \\al(2,2)，又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,1)－c2，,beq \\al(2,2)＝c2－aeq \\al(2,2)，))
∴aeq \\al(2,1)－c2＝3(c2－aeq \\al(2,2))，∴aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)＝4c2，
∴eq \f(aeq \\al(2,1),c2)＋eq \f(3aeq \\al(2,2),c2)＝4，即eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，
∵4≥2eq \r(\f(3,eeq \\al(2,1)eeq \\al(2,2)))，得e1e2≥eq \f(\r(3),2)，
当且仅当eq \f(1,eeq \\al(2,1))＝eq \f(3,eeq \\al(2,2))，
即e2＝eq \r(3)e1时取“＝”，
故e1e2的最小值为eq \f(\r(3),2).
一、基本技能练
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝eq \f(3,2)，故S△OAB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(\f(9,4),2sin 30°)＝eq \f(9,4).
2.(2022·合肥模拟)A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),3)
答案 D
解析 椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－eq \f(b2,a2)，
∴－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(4,9)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，∴b2＝eq \f(4,9)a2，∴c2＝eq \f(5,9)a2，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9)，∴e2＝eq \f(5,9)，∴e＝eq \f(\r(5),3).
3.已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 kAB＝eq \f(0＋1,3－1)＝eq \f(1,2)，kOM＝－1.
由kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，
得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，∴a2＝2b2.
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
4.(2022·洛阳调研)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的最大距离是( )
A.3 B.eq \r(11)
C.2eq \r(2) D.eq \r(10)
答案 D
解析 设椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点P(4cs θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的距离为
d＝eq \f(|4cs θ＋4sin θ－\r(2)|,\r(5))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\r(2))),\r(5))，
所以dmax＝eq \f(|－4\r(2)－\r(2)|,\r(5))＝eq \r(10)，故选D.
5.已知点A(0，－eq \r(5))，B(2，0)，点P为函数y＝2eq \r(1＋x2)图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A.1＋2eq \r(5) B.7
C.3 D.不存在
答案 B
解析 由y＝2eq \r(1＋x2)，得eq \f(y2,4)－x2＝1(y＞0).设点A′(0，eq \r(5))，即点A′(0，eq \r(5))，A(0，－eq \r(5))为双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的上、下焦点.
由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，
则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7，
当且仅当B，P，A′共线时取等号，故选B.
6.已知椭圆Г：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k＝( )
A.1 B.2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 依题意a＝2b，e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，
又λ＝3，由e＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,（λ＋1）cs α)))
得eq \f(\r(3),2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－1,（3＋1）cs α)))，|cs α|＝eq \f(\r(3),3)，
又k>0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得cs α＝eq \f(\r(3),3)，k＝tan α＝eq \r(2).
7.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________.
答案 y2＝2x
解析 |AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(2p,sin2 \f(π,6))＝8p＝8，
∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.
8.已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________.
答案 2x＋4y－3＝0
解析 直线与椭圆交于A，B，
P为AB中点.
由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)得kAB×1＝－eq \f(1,2)，
即kAB＝－eq \f(1,2)，
则直线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x＋4y－3＝0.
9.P是抛物线y＝x2上的一点，以OP为边作正方形OPQR，则点R的轨迹方程为________.
答案 y2＝x或y2＝－x
解析 设∠xOP＝α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，OP＝a，P(acs α，asin α)，
∴∠xOR＝α±eq \f(π,2)，设R(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝asin α，,y＝asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－acs α，))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－asin α，,y＝acs α，))
∵P在抛物线y＝x2上，
∴asin α＝a2cs2α⇒a＝eq \f(sin α,cs2 α)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tan2 α，,y＝－tan α，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－tan2α，,y＝tan α，))
消去α得y2＝x或y2＝－x.
10.过抛物线y2＝4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，则AB中点的轨迹方程为________.
答案 y2＝2p(x－4p)
解析 设OA斜率为k，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx，,y2＝4px，))
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4p,k2)，\f(4p,k)))，
又OB斜率为－eq \f(1,k)，用－eq \f(1,k)代A中的k，
得B(4pk2，－4pk)，
设AB中点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2)))，,y＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－k))，))
消去k得P的轨迹方程为y2＝2p(x－4p).
11.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.
(1)解 圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝4eq \r(2)，|BC|＝4.
连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，
∵|MB|＋|MC|＝|MB|＋|MA|＝|BA|＝r＝4eq \r(2)>|BC|，
∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4eq \r(2)的椭圆，即a＝2eq \r(2)，c＝2，b2＝a2－c2＝4，
∴点M的轨迹方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明 当直线EF的斜率不存在时，
直线EF的方程为x＝±eq \r(\f(8,3))，
E，F的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))，eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0.
当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋m，
∵EF与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(\f(8,3))，即3m2＝8k2＋8.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，(*)
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋m，))
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，
x1x2＝eq \f(2m2－8,1＋2k2)，
代入(*)式得eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝(1＋k2)·eq \f(2m2－8,1＋2k2)－eq \f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq \f(3m2－8k2－8,1＋2k2)，
又∵3m2＝8k2＋8，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0，
综上，以EF为直径的圆恒过定点O.
12.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.
(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝1时，求椭圆C的方程.
解 (1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，
∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0).
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，
代入椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(1,4)＋eq \f(a2,4b2)＝1，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(\r(6),3)，
即椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(6),3).
(2)由题意得a＝2，
∴椭圆C：b2x2＋4y2＝4b2(b>0)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2x2＋4y2＝4b2，,y＝kx＋2，))
消去y得(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝16b2（4k2＋b2－4）>0，,xM＋xN＝－\f(16k,4k2＋b2)，,xM·xN＝\f(16－4b2,4k2＋b2)，))
∵直线QM：y＝eq \f(yM,xM－2)(x－2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2yM,xM－2)))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2yM＋2xM－4,2－xM))).
∵yM＝kxM＋2，
∴yM－2＝kxM，
即eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xM,2－xM)))，
同理eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xN,2－xN)))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \f(4（k＋1）2xMxN,xMxN－2（xM＋xN）＋4)＝4－b2＝1，
即b2＝3，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
二、创新拓展练
13.(2022·成都诊断)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－m）＋n，,x2＝8y，))消y整理，
得x2－8kx＋8km－8n＝0，
因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，
即2k2－km＋n＝0，
所以k1＋k2＝eq \f(m,2)，k1k2＝eq \f(n,2)，
又由x2＝8y得y′＝eq \f(x,4)，
所以x1＝4k1，y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),8)＝2keq \\al(2,1)，
x2＝4k2，y2＝eq \f(xeq \\al(2,1),8)＝2keq \\al(2,2)，
所以kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2keq \\al(2,2)－2keq \\al(2,1),4k2－4k1)＝eq \f(k2＋k1,2)＝eq \f(m,4)，
因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，
所以1≤m≤3，因此eq \f(1,4)≤eq \f(m,4)≤eq \f(3,4)，
即直线AB斜率的最大值为eq \f(3,4)，故选B.
14.(2022·武汉调研)已知双曲线C1：eq \f(x2,aeq \\al(2,1))－eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)与C2：eq \f(y2,aeq \\al(2,2))－eq \f(x2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，
因为C1的离心率为2，
所以C1的渐近线方程为y＝±eq \f(b1,a1)x＝±eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c1,a1)))\s\up12(2)－1)x＝±eq \r(22－1)x＝±eq \r(3)x，
所以C2的渐近线方程为y＝±eq \f(a2,b2)x＝±eq \r(3)x，
所以eq \f(a2,b2)＝eq \r(3)，
所以C2的离心率为eq \r(\f(ceq \\al(2,2),aeq \\al(2,2)))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(3),3).
15.自M(1，－1)引直线l交抛物线y＝x2于P1、P2两点，在P1P2上取一点Q，使|MP1|、|MQ|、|MP2|三者的倒数成等差数列，则Q点的轨迹方程为________.
答案 2x－y＋1＝0，x∈(1－eq \r(2)，1)∪(1，1＋eq \r(2))
解析 设l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝－1＋tsin θ，))(θ为l的倾斜角，t为参数)
代入y＝x2中得t2cs2θ＋(2cs θ－sin θ)·t＋2＝0，①
Δ＝(2cs θ－sin θ)2－8cs2 θ>0，
即tan2 θ－4tan θ－4>0，
tan θ>2＋2eq \r(2)或tan θb>0)过点(0，1)，椭圆C的离心率为e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，设直线l与圆x2＋y2＝R2(1