高考数学二轮复习知识 方法篇 专题7　解析几何 第30练 含答案

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[题型分析·高考展望] 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.
体验高考
1.(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D.2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
答案 A
解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，
依题意有eq \f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
2.(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于( )
A.2eq \r(6) B.8 C.4eq \r(6) D.10
答案 C
解析 由已知，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq \r(6)，y2＝－2＋2eq \r(6)，所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq \r(6)，选C.
3.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5) B.－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3) C.－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5) D.－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
答案 D
解析 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，
则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)，故选D.
4.(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为______.
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 d＝eq \f(|1＋1|,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5).
5.(2016·课标全国丙)已知直线l：mx＋y＋3m－eq \r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，
圆的半径R＝2eq \r(3)，|AB|＝2eq \r(3)，
所以|OM|＝3，解得m＝－eq \f(\r(3),3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\r(3)y＋6＝0，,x2＋y2＝12))
解得A(－3，eq \r(3))，B(0，2eq \r(3))，
则AC的直线方程为y－eq \r(3)＝－eq \r(3)(x＋3)，
BD的直线方程为y－2eq \r(3)＝－eq \r(3)x，
令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，
所以|CD|＝4.
高考必会题型
题型一 直线方程的求法与应用
例1 (1)若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0
答案 D
解析 由题意知圆心C(3，0)，kCP＝－eq \f(1,2).
由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，
所以弦MN所在直线的方程是2x－y－1＝0.
(2)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.
解 设B(4y1－10，y1)，
由AB中点在6x＋10y－59＝0上，
可得：6·eq \f(4y1－7,2)＋10·eq \f(y1－1,2)－59＝0，y1＝5，
∴B(10，5).
设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x′＋3,2)－4·\f(y′－1,2)＋10＝0，,\f(y′＋1,x′－3)·\f(1,4)＝－1))⇒A′(1，7)，
∵点A′(1，7)，B(10，5)在直线BC上，∴eq \f(y－5,7－5)＝eq \f(x－10,1－10)，
故BC边所在直线的方程是2x＋9y－65＝0.
点评 (1)两条直线平行与垂直的判定
①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；
②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.
(2)求直线方程的常用方法
①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；
②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.
变式训练1 已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于原点O对称的直线方程.
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2.))
所以点P的坐标是(－2，2)，又因为直线x－2y－1＝0，
即y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的斜率为k′＝eq \f(1,2)，
由直线l与x－2y－1＝0垂直可得kl＝－eq \f(1,k′)＝－2，
故直线l的方程为：y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别是－1与－2，
则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，
所求直线方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0.
题型二 圆的方程
例2 (1)(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
①圆C的标准方程为________________.
②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
答案 ①(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2 ②－eq \r(2)－1
解析 ①由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋12＝2，解得r＝eq \r(2).
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
②方法一 令x＝0，得y＝eq \r(2)±1，所以点B(0， eq \r(2)＋1).又点C(1， eq \r(2))，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(eq \r(2)＋1)＝x－0，即y＝x＋(eq \r(2)＋1).
令y＝0，得切线在x轴上的截距为－eq \r(2)－1.
方法二 令x＝0，得y＝eq \r(2)±1，所以点B(0，eq \r(2)＋1).又点C(1，eq \r(2))，设过点B的切线方程为y－(eq \r(2)＋1)＝kx，即kx－y＋(eq \r(2)＋1)＝0.由题意，得圆心C(1，eq \r(2))到直线kx－y＋(eq \r(2)＋1)＝0的距离d＝eq \f(|k－\r(2)＋\r(2)＋1|,\r(k2＋1))＝r＝eq \r(2)，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(eq \r(2)＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－eq \r(2)－1.
(2)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切.
①求圆C的方程；
②求以圆C内一点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(5,2)))为中点的弦所在直线l3的方程.
解 ①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－1－b2＝r2，,b＝－2a，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,r＝\r(2).))
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
②由①知圆心C的坐标为(1，－2)，
则kCB＝eq \f(－\f(5,2)－－2,2－1)＝－eq \f(1,2).
设直线l3的斜率为k3，由k3·kCB＝－1，可得k3＝2.
故直线l3的方程为y＋eq \f(5,2)＝2(x－2)，
即4x－2y－13＝0.
点评 求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
变式训练2 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题
例3 (1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A.2 B.4eq \r(2) C.6 D.2eq \r(10)
答案 C
解析 根据直线与圆的位置关系求解.
由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).
∴|AC|2＝36＋4＝40.
又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.
①写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；
②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
解 ①圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
则圆心C的坐标为(1，－2)，半径为3.
②假设存在这样的直线m，
根据题意可设直线m：y＝x＋b.
联立直线与圆的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋4y－4＝0，,y＝x＋b))
得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
因为直线与圆相交，所以Δ>0，
即b2＋6b－9