专题04 椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型(解析版)

这是一份专题04 椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型(解析版)，共13页。试卷主要包含了椭圆＋圆求范围型，已知双曲线C1，已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。

椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)型求范围的基本思路是借助椭圆、双曲线、抛物线或圆的相关知识，结合题设条件建立目标函数或构建不等式，转化为求函数的值域或解不等式求解．
【例题选讲】
[例9] (51)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A 解析 由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，则圆的半径r＝eq \f(b2,a)．又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5)．又0＜e＜1，所以0＜e≤eq \f(\r(5),5)．故选A．
(52)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥eq \f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) 解析 依题意，知b＝2，kc＝2．设圆心到直线l的距离为d，则L＝2eq \r(4－d2)≥eq \f(4\r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5)．又因为d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4)．于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(c2,b2＋c2)＝eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，又由0＜e＜1，解得0＜e≤eq \f(2\r(5),5)．
(53)若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
答案 A 解析 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(b,2)＋c，,b ＜\f(b,2)＋c，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－c)2＞\f(1,4)(a2－c2)，,\r(a2－c2)＜2c，))解得eq \f(\r(5),5)＜e＜eq \f(3,5)．
【对点训练】
66．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆
C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1，2) D．(2，＋∞)
66．答案 A 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2
＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝eq \f(1,2)a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故选A．
67．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范
围是______．
67．答案 (1，eq \r(2)) 解析 双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆x2－4x＋y2＋2＝0可化为(x
－2)2＋y2＝2，其圆心为(2，0)，半径为eq \r(2)．因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以eq \f(|2b|,\r(a2＋b2))＜eq \r(2)，整理得b2＜a2．从而c2－a2＜a2，即c2＜2a2，所以e2＜2．又e＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，eq \r(2))．
68．若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1 (b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值
范围是( )
A．(1，2] B．[2，＋∞) C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
68．答案 A 解析 双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一条渐近线方程是bx－y＝0，由题意圆x2＋(y－2)2＝1的圆
心(0，2)到bx－y＝0的距离不小于1，即eq \f(2,\r(b2＋1))≥1，则b2≤3，那么离心率e∈(1，2]，故选A．
69．已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(BP,\s\up7(―→))，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与动
点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(1，eq \r(2)) D．(1，eq \r(2) ]
69．答案 A 解析] 设P(x，y)，由题设条件得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即
x2＋(y－2)2＝1，它是以(0，2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，因此由题意可得eq \f(2a,\r(a2＋b2))>1，即eq \f(2a,c)>1，则e＝eq \f(c,a)<2，又e>1，故170．已知双曲线E： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近
线上存在点P，使得 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，则E的离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[ QUOTE 324 ，＋∞) D．(2，＋∞)
70．答案 B 解析 由题意得，A(a，0)，F(2a，0)，设P(x0， QUOTE ba x0)，由 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，得 QUOTE AP→ · QUOTE PF→ =0⇒ QUOTE c2a2x02
－3ax0＋2a2=0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2× QUOTE c2a2 ≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤ QUOTE 98 ⇒e≤ QUOTE 324 ，又因为E为双曲线,则171．已知圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的
离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(1，2) C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
71．答案 D 解析 由题意，圆心到直线的距离d＝eq \f(|k|,\r(12＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，所以k＝±eq \r(3)，因为圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的
一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有两个交点，所以eq \f(b,a)>eq \r(3)，所以1＋eq \f(b2,a2)>4，所以e>2．
72．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与
圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，eq \r(6)] B．(1，eq \f(\r(6),2)] C．[eq \f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq \r(6)，＋∞)
72．答案 C 解析 设圆心到直线l的距离为d(d＞0)，因为|MN|≥2eq \r(5)，所以2eq \r(8－d2)≥2eq \r(5)，即0＜d≤
eq \r(3)．又d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(2,\r(1＋k2))≤eq \r(3)，解得|k|≥eq \f(\r(3),3)．由直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝eq \f(b,c)．所以eq \f(b,c)≥eq \f(\r(3),3)，即eq \f(b2,c2)≥eq \f(1,3)，所以eq \f(c2－a2,c2)≥eq \f(1,3)，即1－eq \f(1,e2)≥eq \f(1,3)，所以e≥eq \f(\r(6),2)，于是双曲线的离心率e的取值范围是[eq \f(\r(6),2)，＋∞)．故选C．
73．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半
径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
73．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(\r(2),2))) 解析 因为|PT|＝eq \r(|PF2|2－(b－c)2)(b>c)，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最
小值为eq \r((a－c)2－(b－c)2)．依题意，有eq \r((a－c)2－(b－c)2)≥eq \f(\r(3),2)(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0，①．又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1，②．联立①②，得eq \f(3,5)≤e74．已知A，B，F分别是椭圆x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0标为(p，q)．若p＋q>0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．
74．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) 解析 如图所示，线段FA的垂直平分线为x＝eq \f(1－\r(1－b2),2)，线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(b,2))).
因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝eq \f(1,b)，所以线段AB的垂直平分线方程为y－eq \f(b,2)＝eq \f(1,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))．把x＝eq \f(1－\r(1－b2),2)＝p代入上述方程可得y＝eq \f(b2－\r(1－b2),2b)＝q．因为p＋q>0，所以eq \f(1－\r(1－b2),2)＋eq \f(b2－\r(1－b2),2b)>0，化为b>eq \r(1－b2)．又075．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a>0，b>0)，若在C1上存在点P，使得由点P向
C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．
75．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) 解析 由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|＝eq \r(2)b；
因为|OP|＝eq \r(2)b≥a，所以eq \f(b,a)≥eq \f(1,\r(2))，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≥ eq \r(1＋\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)；所以双曲线离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞))．故答案为：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞))．
2．椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)求值型
椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)型求值的基本思路是借助椭圆、双曲线、抛物线或圆的相关知识，结合题设条件建立a，b，c的等量关系，转化为e的方程求解．
【例题选讲】
[例10] (54)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一条渐近线与圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(5,3)或eq \f(25,16) D．eq \f(5,3)或eq \f(5,4)
答案 D 解析 圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，则圆心为M(3,1)，半径r＝1．当m<0，n>0时，由mx2＋ny2＝1得eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，则双曲线的焦点在y轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y＝eq \f(a,b)x，即ax－by＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|3a－b|,\r(a2＋b2))＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，则b＝eq \f(4,3)a，平方得b2＝eq \f(16,9)a2＝c2－a2，即c2＝eq \f(25,9)a2，则c＝eq \f(5,3)a，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)；当m>0，n<0时，同理可得e＝eq \f(5,4)，故选D．
(55)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,5)
答案 B 解析 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，|F1F2|＝2c，根据正弦定理eq \f(|F1F2|,sin∠F1PF2)＝eq \f(2c,sin \f(π,3))＝2R，∴R＝eq \f(2\r(3),3)c，∵R＝4r，∴r＝eq \f(\r(3),6)c，由余弦定理，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，可得|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))，则由三角形面积公式eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|))·r＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋2c))·eq \f(\r(3),6)c＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))·eq \f(\r(3),2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)．
(56)已知双曲线Γ： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ (其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )
A． QUOTE 2133 B． C． D．
答案 D 解析 取双曲线渐近线为y＝ QUOTE ba x，圆(x－a)2＋y2＝8的圆心为(a，0)，半径r＝2，由题意知∠ACB＝ QUOTE π2 ，由勾股定理得|AB|＝＝4，又由 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ 得|OA|＝ QUOTE 14 |AB|＝1，在△OAC和△OBC中，由余弦定理得cs∠BOC＝ QUOTE a2+1-82a = QUOTE 52+a2-810a ，解得a2＝13．根据圆心到直线y＝ QUOTE ba x的距离为2，有 QUOTE abc ＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝，故离心率为 QUOTE ca ＝ QUOTE 13313 ＝ QUOTE 133 ．故选D．
(57)已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \r(2)－1 C．eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(\r(2)－1,2)
答案 B 解析 法一：由抛物线方程知A(0，－1)，过点P作PB垂直准线于点B，如图．由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，则|PA|＝m|PF|＝m|PB|，即m＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,sin∠PAB)．若m最大，则sin∠PAB最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y得x2＝4kx－4，即x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，可得P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故选B．
法二：过点P作PB垂直准线于点B．设P(x，y)．因为A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，所以A(0，－1)，F(0，1)，则m＝eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \r(\f((y＋1)2＋x2,(y－1)2＋x2))＝eq \r(\f((y＋1)2＋4y,(y－1)2＋4y))＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1)).当y＝0时，m＝1；当y>0时，m＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1))＝eq \r(1＋\f(4,y＋\f(1,y)＋2))≤eq \r(1＋\f(4,2＋2\r(y·\f(1,y))))＝eq \r(2)，当且仅当y＝1时取等号．当m取得最大值时，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故选B．
(58)已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \f(\r(5),2)
答案 A 解析 如图，连接PF2，QF2．由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝eq \f(4,3)a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5)，故选A．
【对点训练】
76．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
76．答案 A 解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离
d＝eq \f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),3)．
77．(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与
圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
77．答案 A 解析 令双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝eq \r(a2＋b2)．如图
所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即离心率e＝eq \r(2)．故选A．
78．以双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点，与y轴
交于P，Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
78．答案 B 解析 设圆M与双曲线C相切于点F(c，0)，则MF⊥x轴，于是可设M(c，t)(t＞0)，代入
双曲线方程中解得t＝eq \f(b2,a)，所以|MF|＝eq \f(b2,a)，所以|PQ|＝2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)))2－c2)．因为△MPQ为等边三角形，所以c＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)))2－c2)，化简，得3b4＝4a2c2，即3(c2－a2)2＝4a2c2，亦即3c4－10c2a2＋3a4＝0，所以3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝eq \f(1,3)或e2＝3，又e＞1，所以e＝eq \r(3)．
79．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F．以原点O为圆心的圆与直
线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
79．答案 A 解析 因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为eq \f(bc,a)，即OC＝eq \f(bc,a)，因为四边形FAMN
是平行四边形，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，代入椭圆方程得eq \f(（a＋c）2,4a2)＋eq \f(c2b2,a2b2)＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(3,5)．故选A．
80．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
80．答案 eq \f(2\r(3),3) 解析 双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，则圆心A
到此渐近线的距离d＝eq \f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq \f(ab,c)．又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝eq \f(ab,c)，即eq \f(\r(3)b,2)＝eq \f(ab,c)，所以e＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)．
81．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)(c>0)，过点F1作直线与圆x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于点
A，与双曲线的右支交于点B，若eq \(OB,\s\up7(→))＝2eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OF1,\s\up7(→))，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．eq \f(\r(10),2) C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(\r(5),2)
81．答案 B 解析 设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F2(c,0)，∵eq \(OB,\s\up8(→))＝2eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OF1,\s\up8(→))，∴2eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))＋
eq \(OF1,\s\up8(→))，∴A是BF1的中点，∵过点F1作直线与圆x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于点A，∴OA⊥BF1，∵O是F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴BF1⊥BF2，|BF2|＝a，∴|BF1|2＝|F1F2|2－|BF2|2＝4c2－a2，∵|BF1|＝2a＋|BF2|＝3a，∴9a2＝4c2－a2，∴10a2＝4c2，∴e＝eq \f(\r(10),2)，故选B．
82．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，
PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q．若|AQ|＝eq \r(3)，E的离心率为________．
82．答案 eq \f(4\r(3),3) 解析 如图所示，设PF1，PF2分别与△PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|＝|AQ|，
|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2eq \r(3)，故a＝eq \r(3)，从而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3)．
83．设F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝eq \f(a2,9)与线段PF交于A，B
两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(5),3) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(17),5)
83．答案 D 解析 设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连
接PF1．设|OD|＝t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF．因为|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)，根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|＝2a，∴6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)＋2t＝2a，解得t＝eq \f(a,5)或t＝0(舍去)．所以|PF|＝eq \f(8a,5)，|PF1|＝eq \f(2a,5)．在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8a,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,5)))2＝(2c)2，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(17,25)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(17),5)．
84．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是双曲线C右支上
一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．2 D．3
84．答案 B 解析 取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆
x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝eq \f(1,2)·|PF1|＝a＋c，则在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为eq \f(5,3)．
85．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是双曲线左、右两支上关
于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2eq \r(2)．M，N分别为AF2，BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(6) C．eq \r(6)＋eq \r(3) D．eq \r(6)－eq \r(2)
85．答案 C 解析 设双曲线的焦距为2c，MN与x轴交于点H，如图可知，OH＝eq \f(MN,2)＝eq \f(AB,4)＝eq \f(c,2)，所以
AB＝2c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)x，,b2x2－a2y2＝a2b2，))可得x＝± eq \r(\f(a2b2,b2－8a2))，所以AB＝6 eq \r(\f(a2b2,b2－8a2))＝2c，所以有18a2c2－9a4＝c4，解得e2＝9＋6eq \r(2)，所以离心率e＝eq \r(6)＋eq \r(3)，故选C．
86．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点与
双曲线C1的一个焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线C1的离心率为________．
86．答案 2＋eq \r(3) 解析 由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)．设点P(x0，y0)，过点P作抛物线C2：y2＝2px
(p>0)准线的垂线，垂足为A，连接PF2.根据双曲线的定义和|F1F2|＝|PF1|＝2c，可知|PF2|＝2c－2a.由抛物线的定义可知|PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a，则x0＝c－2a.由题意可知eq \f(p,2)＝c，又点P在抛物线C2上，所以yeq \\al(2,0)＝2px0＝4c·(c－2a)，在Rt△F1AP中，|F1A|2＝|PF1|2－|PA|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2, 即yeq \\al(2,0)＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a)，化简可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋eq \r(3).
87．双曲线：（，）的焦点为、，抛物线：的准线
与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
87．答案 C 解析 ∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为
∵双曲线：（，）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴，，∵以为直径的圆过，∴，即，∵，∴，即，∴∵椭圆的离心率为，∴椭圆的离心率的平方为．故选C．