2022蚌埠高一上学期期末考试数学含解析

蚌埠市2021-2022学年度第一学期期末学业水平监测

高一数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件逐个分析判断

【详解】对于A，因为，所以A错误，

对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，

对于C，因为，，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以，所以D错误，

故选：C

2. “，”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】∵ “，”可推出“”，

“”不能推出“，”，例如，时，，

∴ “，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对全程量词的否定用存在量词，直接写出其否定.

【详解】因为对全程量词的否定用存在量词，

所以命题“”的否定是“”.

故选：D

4. 设则下列说法正确的是（    ）

A. 方程无解 B.  C. 是奇函数 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义逐个分析判断

【详解】对于A，当为有理数时，由，得，所以A错误，

对于B，因为为无理数，所以，所以B正确，

对于C，当为有理数时，也为有理数，所以，当为无理数时，也为无理数，所以，所以为偶函数，所以C错误，

对于D，因为，所以，所以D错误，

故选：B

5. 已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年，）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（    ）

A. 2年 B. 3年 C. 4年 D. 5年

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，列方程，即可求解.

【详解】由题意可得，令，即，解得：t=4.

故选：C

6. 若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】要保证函数在R上单调递减，需使得和都为减函数，且x=1处函数值满足,由此解得答案.

【详解】由函数在R上单调递减，

可得 ，解得 ，

故选：D.

7. 已知是偶函数，且在上是减函数，又，则的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意推得函数在上是增函数，结合，确定函数值的正负情况，进而求得答案.

【详解】是偶函数，且在上是减函数，又，

则，且在上是增函数，

故时，，时，，

故的解集是，

故选：B.

8. 若函数在定义域上的值域为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】的对称轴为，且，然后可得答案.

【详解】因为的对称轴为，且

所以若函数在定义域上的值域为，则

故选：A

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.

9. 某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）

A. 图中的值为

B. 这组数据的平均数为

C. 由图形中的数据，可估计分位数是

D. 分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号

【答案】BC

【解析】

【分析】由直方图的面积之和为可判断A选项；求出平均数可判断B选项；求出分位数可判断C选项；计算出该校获得金牌小卫士称号的人数可判断D选项.

【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，解得，A错；

对于B选项，这组数据平均数为，B对；

对于C选项，，，

所以，设这组数据分位数为，则，则，解得；

对于D选项，由频率分布直方图可知，该校获得金牌小卫士称号的人数为人，D错.

故选：BC.

10. 已知，且，则下列结论中正确的是（    ）

A. 有最小值1 B. 有最小值2

C. 有最小值4 D. 有最小值4

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式逐一判断即可.

【详解】因为，且，

所以由可得，当且仅当时等号成立，故A错误；

由可得，当且仅当时等号成立，故B正确；

因为

所以，当且仅当即时等号成立，故C正确

因为

所以，当且仅当时等号成立，故D错误

故选：BC

11. 袋中装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球，这6个球除颜色外完全相同.从袋中不放回的依次摸取3个，每次摸1个，则下列说法正确的是（    ）

A. “取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件

B. “取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件

C. 取到的3个球中有红球和蓝球的概率为0.8

D. 取到的3个球中没有红球的概率为0.2

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A、B：列举出取球的基本情况，根据互斥事件、对立事件的定义直接判断；

对于C、D：列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】从装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球袋中，不放回的依次摸取3个，每次摸1个，一共有：1红1蓝1黑；1红1蓝1白；1红1黑1白；1蓝1黑1白；2红1蓝；2红1黑；2红1白；2蓝1红；2蓝1黑；2蓝1白；十大类情况.

对于A：“取到的3个球中恰有2个红球”包括：2红1蓝；2红1黑；2红1白；

而“取到的3个球中没有红球”包括：1蓝1黑1白；2蓝1黑；2蓝1白.

所以“取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件.故A正确；

对于B：“取到的3个球中有红球和白球”包括：1红1蓝1白；1红1黑1白；2红1白；

而“取到的3个球中有蓝球和黑球”包括：1红1蓝1黑；1蓝1黑1白；2蓝1黑.

所以“取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件.故B正确；

记两个红球分别为：a、b，两个蓝球分别为1、2，白球为A，黑球为B.

从6个小球中不放回的依次摸取3个，有：ab1、ab2、abA、abB、a12、a1A、a1B、a2A、a2B、 a A B、b12、 b 1A、 b 1B、 b 2A、 b 2B、 b A B、 12A、 1 2B、 1A B、 2AB共20种.

对于C：取到的3个球中有红球和蓝球包括：ab1、ab2、a12、a1A、a1B、 a2A、a2B、b12、 b 1A、 b 1B、 b 2A、 b 2B、共12种.

所以取到的3个球中有红球和蓝球的概率为.

故C错误；

对于D：取到的3个球中没有红球有： 12A、 1 2B、 1A B、 2AB共4种.

取到的3个球中没有红球的概率为.

故D正确.

故选：ABD

12. 已知正数x，y，z满足等式，下列说法正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】令，则，然后可逐一判断.

【详解】令，则

因为，所以，故A正确；

，即，故B错误；

，故C正确；

，故D错误；

故选：AC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分.

13. 若幂函数的图象过点，则___________.

【答案】27

【解析】

【分析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,

【详解】设代入，即，所以，所以.

故答案为：27.

14. 计算：___________.

【答案】10

【解析】

【分析】利用指数的运算性质和对数的运算性质求解

【详解】

，

故答案为：10

15. 利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.

【答案】75

【解析】

【分析】根据随机数表法进行抽样即可.

【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.

所以读出的第3个数是：75.

故答案为：75.

16. 已知函数，若，则___________；若存在，满足，则的取值范围是___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】若，则，然后分、两种情况求出的值即可；画出的图象，若存在，满足，则，其中，然后可得，然后可求出答案.

【详解】因为，所以

若，则，

当时，，解得，满足

当时，，解得，不满足

所以若，则

的图象如下：

若存在，满足，则，其中

所以

因为，所以，，所以

故答案为：；

四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.

17. 已知非空集合，非空集合

（1）若，求（用区间表示）；

（2）若，求m的范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别解出集合A、B，再求；

（2）由可得，列不等式即可求出m的范围.

【小问1详解】

由不等式的解为，即.

由，即

【小问2详解】

由可知，，

只需

解得.

即m的范围为.

18. 已知函数.

（1）判断的奇偶性，并证明；

（2）证明：在区间上单调递减.

【答案】（1）是偶函数，证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可，

（2）利用单调性的定义证明

【小问1详解】

为偶函数，

证明如下：

定义域为R，

因为，

所以是偶函数.

【小问2详解】

任取，且，则

因为，所以，

所以，即，

由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.

19. 体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的时间以的速度行走，刹余一半时间换为以的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以的速度行走，平均速度为；

（1）试求两种行走方式的平均速度；

（2）比较的大小.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用平均速度的定义求出；

（2）利用作差法比较大小.

【小问1详解】

设方式一中小明行走的总路程为s，所用时间为，

由题意得，可知

设方式二中所用时间为，总路程为s，

则

【小问2详解】

.

因为且，所以，即.

20. 在①，，②，，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.

已知函数___________（填序号即可）.

（1）求函数的解析式及定义域；

（2）解不等式.

【答案】（1）条件选择见解析，答案见解析；   

（2）条件选择见解析，答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据所选方案，直接求出的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数的定义域；

（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集.

【小问1详解】

解：若选①，，由，解得，

故函数定义域为；

若选②，，易知函数定义域为.

【小问2详解】

解：若选①，由（1）知，，

因为在上单调递增，且，所以，

解得或.

所以不等式的解集为；

若选②，由（1）知，，

令，即，解得，即，

因为在上单调递增，且，，所以.

所以不等式的解集为.

21. 甲､乙､丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.

（1）求；

（2）写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.

【答案】（1）   

（2）互斥事件有：，

【解析】

【分析】（1）根据相互 独立事件的乘法公式列方程即可求得.

（2）直接写出事件包含的互斥事件，并利用对立事件的概率公式求事件发生的概率即可.

【小问1详解】

由题意知，

A，B，C为相互独立事件，

所以甲､丙击中目标而乙没有击中目标的概率

乙击中目标而丙没有击中目标的概率，

解得，.

【小问2详解】

事件包含的互斥事件有：

，

.

22. 已知函数，设.

（1）证明：若，则；

（2）若，满足，求实数m范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先判断为偶函数，再由单调性的定义可得函数在单调递增，从而当时，有，进而可得结论，

（2）将不等式转化为，再由的奇偶性和单调性可得，所以将问题转化为，换元后变形利用基本不等式可求得结果

【小问1详解】

证明：因为，

所以函数为偶函数.

任取，不妨设，则

当时，，

所以，即，

由单调性定义知，函数在单调递增，

所以，当时，，

即，

即

【小问2详解】

由整理得，

由（1）知，在上单调递增，且为偶函数，

易证在上单调递减，

因为，所以，

故，即，

由题意知，，

即

令，因为，由单调性可知，，

由基本不等式得，，

当且仅当，即时，等号成立.

即，

故.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的证明，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，然后分离参数得，换元整理后利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

23. 已知函数.

（1）若在上的最大值为，求的值；

（2）若为的零点，求证：.

【答案】（1）2；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）易知函数和在上递增， 从而在上递增，根据在上的最大值为求解.

（2）根据为的零点，得到，由零点存在定理知，然后利用指数和对数互化，将问题转化为，利用基本不等式证明.

【详解】（1）因为函数和在上递增，

所以在上递增，

又因为在上最大值为，

所以，

解得；

（2）因为为的零点，

所以，即，

又当时，，当 时，，

所以，

因为，

等价于，

等价于，

等价于，

而，

令，

所以，

所以成立，

所以.

【点睛】关键点点睛：本题关键是由指数和对数的互化结合，将问题转化为证成立.