安徽省蚌埠市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

蚌埠市2021—2022学年度第二学期期末学业水平监测

高一数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共８小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

2. （）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3. 已知向量，，若，则（）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】A

4. 已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】D

5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】D

8. 已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，则球的体积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，则下列说法正确的是（）

A. 虚部是 B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复数的概念进行判断.

【详解】，虚部为2，所以A错误；

，所以B正确；

虚数不比较大小，所以C错误；

，所以D正确.

故选：BD.

10. 中，下列说法正确的是（）

A. 与共线的单位向量为

B.

C. 若，则为钝角三角形

D. 若是等边三角形，则，的夹角为60°

【答案】AC

11. 如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（）

A.  B. 平面

C. 平面 D. 直线与平面所成的角为30°

【答案】AB

12. 关于函数，以下说法正确的是（）

A. 函数是偶函数 B. 函数最小正周期是

C. 是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增

【答案】BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分.

13. 已知是虚数单位，计算：____________.

【答案】

14. 如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.

【答案】

15. 计算：____________

【答案】

16. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个棱长为2正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体的表面积为___________；其外接球的表面积为___________.

【答案】    ①. ##    ②.

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.

17. 已知，.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）

（2）-2

18. 已知向量与，其中，，且与的夹角.

（1）求；

（2）求向量在方向上的投影数量.

【答案】（1）

（2）

19. 若函数.

（1）求函数的最大值及最小正周期；

（2）求使成立的的取值集合.

【答案】（1）最大值，最小正周期为

（2）

20. 底面是菱形的直四棱柱中，，且，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若为线段的中点，求三棱锥的体积.

【答案】（1）

（2）

21. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.

已知中，，，分别是内角，，的对边，_____________.

（1）求角；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）

（2）

22. 如图所示的几何体中，，平面，，，是的中点.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在点当时，满足条件，理由见解析

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，，由三角形中位线定理可得，再由，得，则与共面，由已知线面垂直和等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定可得平面，从而可证得，

（2）当时，满足条件，连接交于，连接，则，从而得，再由线面平行的判定定理可证得结论

【小问1详解】

取的中点，连接，，

又是的中点，所以，

∵，∴，

∴与共面，

∵平面，平面，

∴，

∵，是的中点，

∴，

∵，，，

∴平面，

∵平面，

∴.

【小问2详解】

存在点，当时，满足条件，证明如下，

连接交于，连接，

∵，∴，

∴，

∴，

∴，

∵平面，不在平面内，

∴平面.