江西省赣州市九校2023届高三上学期12月质量检测数学（理）试题及答案

江西省赣州市九校2023届高三上学期12月质量检测数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，（），若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知直线，若，则与之间的距离为（    ）

A．1 B．2 C． D．

4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l与太阳天顶距之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l等于表高h与天顶距正切值的乘积，即．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为和，则（    ）

A． B． C． D．1

5．已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

8．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C过和两点，点P在线段上，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．已知定义在上的函数满足：①；②对任意正数x，y，当时，恒成立．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．在四面体中，，异面直线与所成的角为，二面角为锐二面角，，则四面体的体积为（    ）

A． B．3 C．5 D．10

12．将曲线和曲线合成曲线E．斜率为k的直线l与E交于A，B两点，P为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）

A．曲线E所围成图形的面积小于36

B．曲线E与其对称轴仅有两个交点

C．存在，使得点P的轨迹总在某个椭圆上

D．存在k，使得点P的轨迹总在某条直线上

二、填空题

13．已知向量满足，则与的夹角为_______________．

14．直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．

15．如图，直线与抛物线交于A，B两点，D为C上异于A，B的一点，若，则点D到直线的距离与p的比值为__________．

16．若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围为_____________．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

18．已知直线，若与的交点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若圆的圆心在直线上，且与曲线C相交所得公共弦的长为，求m，n的值．

19．在正项数列中，，，．

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，，且，设数列的前n项和为，证明：．

20．在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到处，使得，E为的中点（如图2）．

(1)求证：平面 平面；

(2)求二面角的正弦值．

21．已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．

(1)求C的方程；

(2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．

22．已知（）．

(1)讨论的单调性；

(2)若，函数，，，，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】分别求出集合和集合，再由进行求解.

【详解】由已知，集合即函数的定义域，

由不等式，即，解得，

∴，

集合即函数的值域，因为指数函数的值域为，所以函数的值域为，

∴，

∵，

∴的取值范围是.

故选：D.

2．B

【分析】先由复数的运算化简，再计算模长.

【详解】，

故选：B

3．A

【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解即可.

【详解】因为，所以，解得，经检验符合题意；

所以，

所以与之间的距离，

故选：A

4．B

【分析】根据已知条件得出的值，利用两角差的正切公式可得结果.

【详解】由题意知，所以

故选：B.

5．B

【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.

【详解】“的值为定值，”，若，则点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；

“点的轨迹是双曲线”，则必有是平面内两个不同的定点，且满足，故必要性成立；

故选：B

6．C

【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程.

【详解】，，

又，

所求切线方程为：，即.

故选：C.

7．C

【分析】分别表示出A、B坐标，利用求得，即可求出离心率.

【详解】因为F为双曲线的下焦点，不妨设，

所以过F作斜率为的直线，所以.

因为是C的斜率大于0的渐近线，所以可设.

由联立解得：.

因为，所以，解得：.

所以离心率.

故选：C

8．A

【分析】由函数周期可求出，又由特殊值和，可求得和，进而可得的解析式，再利用的图象变换规律，求得的解析式．

【详解】依题意有，得，

又，所以，且，得，

又，得，

所以，

所以．

故选：A．

9．D

【分析】根据椭圆过点求出，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解.

【详解】因为椭圆过点和，

所以，可得，

所以，，

设，由题意直线的方程为，即，

因为点P在线段上，所以满足，

 则

，，

当时，，当时，，

所以的取值范围为.

故选：D

10．A

【分析】根据函数性质可知，在上单调递减，又根据，可构造函数，且函数为单调递减，又因为，即可得出.

【详解】由题意可知，对任意正数x，y，当时，，即

所以函数在上单调递减，即导函数在恒成立；

可得；

构造函数，则，

所以，在上单调递减；

设函数，则，

即在为单调递减，所以,即；

设函数，则，

即在为单调递减，所以，即；

综上可知，，

即

即得.

故选：A.

11．C

【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥，过点D作于E，则平面，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得，求出DE，利用三棱锥的体积公式计算即可.

【详解】

如图，在长方体中，，

过点D作于E，则平面，

所以为二面角的所成角，为锐角，

为异面直线与的所成角，所以，

所以.

由题意知，该四面体为三棱锥，

由，

所以该三棱锥的体积为.

故选：C.

12．D

【分析】画出曲线表示的图形，分析AB选项；

选项C，分析当时，设，且，，然后根据题意分析点P的轨迹总在某个椭圆上即可；

选项D，结合C的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在，使得点P的轨迹总在某条直线上，则为常数，化简分析即可解决问题.

【详解】选项A：如图，曲线E所围成图形在正方形内部，

由正方形的面积为，

所以曲线E所围成图形的面积小于36，故A正确；

由A中图形可知，曲线E关于轴对称，

所以曲线E与其对称轴仅有两个交点，故B正确；

选项C：设，且，

，

当时，

，两式相减的：

所以，

又，所以

故存在，使得点P的轨迹总在某个椭圆上，C正确

选项D： 由，，

由题意若存在，使得点P的轨迹总在某条直线上，

则，

两式相减得：

即，

又，所以，

即，

又，

所以若存在，使得点P的轨迹总在某条直线上，

则为常数，

即

为定值，

因为分子分母次数不同，

故若上式为定值，则恒成立，

即，无解，假设不成立，

所以不存在k，使得点P的轨迹总在某条直线上

所以选项D不正确；

故选：D.

13．

【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】，

，

设与的夹角为，

，

因为，

所以，

故答案为：

14．或.

【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可.

【详解】由，得圆心为，半径，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则

，，

解得，

所以直线的方程为，即，

综上，直线l的方程为或，

故答案为：或.

15．

【分析】根据题意得到的坐标，设，由题意可得，列出方程即可得到结果.

【详解】因为直线与抛物线交于A，B两点，不妨设

且D为C上异于A，B的一点，由抛物线的对称性，不妨设

则

由可得

化简可得，因为，则

即点D到直线的距离与p的比值为

故答案为:

16．

【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围.

【详解】，是的两个极值点，

是的两根，又当时，方程不成立，

与有两个不同的交点；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

则图象如下图所示，

由图象可知：且；

，；

当时，不妨令，则，即，，解得：，

当时，，

若，则，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理可得到，进而得到，即可求出A的大小；

（2）根据三角形内角和为，且为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解．

【详解】（1）由，

则根据正弦定理有，即，

又由余弦定理有，得，

所以在中，得；

（2）由为锐角三角形，且，

则有，得，即，即，

所以根据正弦定理有．

18．(1)

(2)或.

【分析】（1）由判断出点的轨迹为以为直径的圆(除去点)，进而求其方程;

（2）由圆的圆心的位置得,的关系,两个圆方程相减得的方程,由弦长求,.

【详解】（1）当

故直线过定点，

直线，当，故其过定点，

又,所以,所以点的轨迹为以为直径的圆，

当时，两直线交点为，但交点无法与点重合，

故需除去点

其圆心为原点,半径为,所以曲线的方程为；

（2）由(1)知,曲线的方程为，

又圆的圆心为在直线上,

所以,，

两圆方程作差得两个圆的公共弦的方程为,

即,

因为两个圆的公共弦的长为,

原点到直线的距离为

,

所以,

解得或,

所以或.

19．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由可得到，根据累乘法求通项的方法，即可求出的通项公式；

（2）由可知，可判断数列为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出，即可求证.

【详解】（1）解：已知①，

则，且②，

，得，整理得，

∴，，，，

由累乘法可得，

又，，符合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）可知，，

因为，所以，

则数列是首项为1，公比为的等比数列，

∴，

，即，得证.

20．(1)答案见解析

(2)

【分析】取BC中点为O，建立以O为原点的空间直角坐标系.

（1）设平面PDE法向量为，平面PCD法向量为， 利用可证面面垂直.

（2）求得平面PAD的法向量，后用向量法可求得二面角的余弦值，后可求得正弦值.

【详解】（1）因四边形ABCD为正方形，则.

又在三角形PCD中，，，，

则.又平面PCD，平面PCD，，

则平面PCD.取BC中点为O，AD中点为F，连接PO，OF.

则.又平面PCD，则，

得.

故如图建立以O为原点，以射线OB方向为x轴正方向，射线FO方向为y轴正方向，

射线OP方向为z轴正方向的空间直角坐标系.

则，

.

得，

设平面PDE法向量为，则，

取.

设PCD法向量为，则，

取.

因，则平面 平面.

（2）由（1）分析可知，平面PDE法向量为.

又，设平面PAD的法向量，

则，取.

则，

又由图可知二面角平面角为锐角，则，

得二面角的正弦值.

21．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的方程．

（2）分别联立直线与椭圆、椭圆的方程消元，可证明线段、中点相同，然后结合可得，由此可证明.

【详解】（1），

直线的方程为，即，

到直线的距离为，

，

又，解得，，

椭圆的方程为：．

（2）椭圆的3倍相似椭圆的方程为，

设，，，各点坐标依次为，，，，，，，，

将代入椭圆方程，得：，

，

，，

，

将代入椭圆的方程得，

，，，

，

线段，中点相同，，

由可得，

，所以，

，化简得，满足式，

，即点在定曲线上．

22．(1)当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

(2)

【分析】（1）先求出的导数，根据的取值范围进行分类讨论即可；

（2）当，时，，去绝对值后，构造函数求解即可.

【详解】（1）由已知，（）的定义域为，

，

①当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增；

②当时，令，则，，

解得（舍），，

∴当时，，∴，

∴在区间上单调递减，

当时，，∴，

∴在区间上单调递增，

综上所述，当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）当时，，，

，，，

等价于，

即，

令，，则恒成立

，

令，，则，

令，解得，当时，，在区间单调递增；

当时，，在区间单调递减，

∴当时，的最大值为，

∴当时，，即，

∴在区间上单调递减，

不妨设，∴，，有，

又∵在区间上单调递减， ，，且，有，

∴等价于，

∴，

设，，

则，，且，等价于，

即在上单调递减，∴，

∴，∴，

∵当时，的最大值为，

∴的最小值为，

∴，

综上所述，满足题意的实数的取值范围是.

【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将等价转换为，便于构造函数；另一个是通过构造函数，借助导数判断出函数的单调性去绝对值.