2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三（实验班）上学期入学测试数学（理）试题含解析

2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三（实验班）上学期入学测试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分别求两个集合，再求.

【详解】，解得：，

所以，

，解得：，

所以，所以.

故选：B

【点睛】本题考查集合的交集，不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型.

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，利用复数的乘除运算求得复数z，再求共轭复数.

【详解】因为.

所以

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查复数的共轭复数和复数的代数运算，属于基础题.

3．的展开式中含项的系数是（    ）

A．60 B．  C．12 D．

【答案】D

【分析】根据二项式定理通项公式求解即可.

【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得：

，

所以令得，所以，故的系数为.

故选：D.

【点睛】本题考查二项式定理，考查运算能力，是基础题.

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当时，，利用向量的数量积坐标运算公式求解即可.

【详解】因为，所以，即，得.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，属于简单题，只需要准确运用向量的数量积运算公式就可以解得答案.

5．某中学有高中生3600人，初中生2400人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（    ）

A．48 B．72 C．60 D．120

【答案】D

【分析】求出高中生人数与初中生人数之比为，由可解得结果.

【详解】由题意可知，该校高中生人数与初中生人数之比为，

则，解得．

故选：D

【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.

6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义得，再根据点在抛物线上得，解方程即可得答案.

【详解】解：由抛物线的定义可得：，

又因为点在抛物线上，

所以有：．

所以，解得．

故选：A.

【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，解题的关键是将转化为，是基础题.

7．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数单调性，以及函数的单调性，即可比较大小.

【详解】是上的单调减函数，故，

是上的单调减函数，故，，故；

令，则在恒成立，故在单调递增；

则，即，故，即；

综上所述，.

故选：B.

8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，由题设及单调性和奇偶性的知识易得为奇函数，且在上为增函数，不等式等价于

，即，最后利用的单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.

【详解】设，

因为对任意的，，，恒有，

所以函数在上为增函数，则在上为增函数，

又，而，所以，

所以为奇函数，

综上，为奇函数，且在上为增函数，

所以不等式等价于，

即，亦即，

可得，解得.

故选：B．

【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.

9．已知等差数列的前项和为，满足，，，则（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得，从而求得，然后由求解.

【详解】由题意得，

所以.

所以.

所以，

解得.

故选：C

【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.

10．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则

A．0 B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：函数对任意，都有,

,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.

【解析】1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.

11．已知函数满足，若函数与的图象的交点为，则（    ）

A． B． C．n D．0

【答案】A

【分析】由函数和的图象都关于对称，可知它们的交点也关于对称，进而分为奇数和为偶数两种情况，分别求出答案即可.

【详解】∵函数满足，∴的对称轴为，

又函数的对称轴也为，∴两个函数图象的交点也关于对称．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上，．

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

12．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由变形得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，进一步得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为，由，可得，

所以，，

令，其中，则，所以，函数在上单调递增，

由可得，

所以，，所以，，其中，

令，其中，则.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，所以，，解得.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键在于将不等式变形为，通过构造函数，进一步将不等式变形为，从而结合函数的单调性与参变量分离法求解.

二、填空题

13．在等比数列中，，则__________．

【答案】

【分析】设等比数列的公比为，由题意可知和同号，结合等比中项的性质可求得的值.

【详解】设等比数列的公比为，则，

由等比中项的性质可得，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查等比中项的计算，解题时不要忽略了对应项符号的判断，考查计算能力，属于基础题.

14．已知函数是奇函数，且当时，，则__________.

【答案】

【分析】根据函数是奇函数，由求解.

【详解】因为函数是奇函数，且当时，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.

15．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题意知函数在上是减函数，在上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出的取值范围

【详解】解：函数是偶函数，

，

，

定义在上的偶函数

在区间上单调递减，

，

，

得．

故答案为．

【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．

16．已知在恒成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】构造函数以及，对原式分离参数后求得的最小值，即可求得参数的范围.

【详解】令，则，

故当时，，单调递减；当时，，单调递增；

则，即恒成立；

令，则，故在单调递增，

又，故存在，使得；

且当时，；当时，；

在恒成立，即，

也即在恒成立，令，

由上述推证可知， ，且存在，使得，

又，故的最小值为，故，则.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究恒成立问题，处理问题的关键是构造适当的函数，以及利用分离参数法，属综合中档题.

三、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.

(1)求sin B；

(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．

【详解】（1）∵，则，

由正弦定理可得，

又∵，则，即，

∴，

又∵，故.

（2）∵△ABC的面积为，则，

∴，

故△ABC的周长为.

18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为，每件尺寸限制为，其中头等舱乘客免费行李额为，经济舱乘客免费行李额为.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：

（1）请完成列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？

（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为元，求的分布列与数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析，有关；（2）分布列见解析，元.

【分析】（1）根据表格中的数据，得到列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；

（2）根据题意得出补贴券总金额的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）根据表格中的数据，得到列联表：

可得，

所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.

（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超出的旅客有7人（其中女性旅客4人），从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，3，4，

所以补贴券总金额的所有可能取值为100元，200元，300元，400元，

则，，

，，

则的分布列为

故（元）.

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BCAD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4.

(1)证明：PC平面BDE；

(2)求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合线面平行的判断定理证明；（2）建系，求平面PCD与平面BDE的法向量，利用空间向量求面面夹角.

【详解】（1）连接，设，连接，

∵BCAD，则，

由题意可知：，则OEPC，

平面BDE，平面BDE，

∴PC平面BDE.

（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

∴，

设平面PCD的法向量，则，

令，则，则，

同理可得：平面BDE的法向量，

∵，

∴平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值.

20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于、两个不同的点，为坐标原点，是椭圆上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题中条件求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可求出点的坐标，代入椭圆的方程，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】（1）解：直线的方程即为，

点到直线的距离为，则，

又因为，，则，，

因此，椭圆的标准方程为.

（2）解：设点、，联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，，

因为四边形为平行四边形，则，

即点，

将点的坐标代入椭圆的方程可得，则，

此时，，

点到直线的距离为，

，

所以，.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；

（2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答.

（2）求出函数的导数，利用导数分类讨论函数的单调性、零点情况作答.

【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增，

而，，则存在，使得，即，有，

当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，

所以.

（2）函数定义域R，求导得，

当时，由得，，由得，，即函数在上递减，在上递增，

，而，即存在，使得，则函数在上有唯一零点，

取且，则，

即存在，使得，则函数在上有唯一零点，

因此当时，函数有两个零点，

当时，函数只有一个零点2，

当时，若，当或时，，当时，，

即有在上单调递增，在上单调递减，又，，

因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，

若，恒有，即函数在R上单调递增，函数最多一个零点，

若，当或时，，当时，，

即有在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，

因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，

综上得，当时，函数有两个零点，当时，函数最多一个零点，

所以a的取值范围是.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）将代入直线可得直线普通方程，消去参数可得曲线的普通方程；

（2）求得直线的参数方程，代入圆，利用直线参数的几何意义可求.

【详解】解：（1）因为，将代入得，

所以直线的普通方程为．

因为曲线的参数方程为（为参数），

消去参数可得曲线的普通方程为．

（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，

则，，

故．

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值是，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）将解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得时的解集；从而得出答案；

（2）先由（1）求出的最小值，所以得；再将构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值.

【详解】解：（1），

等价于或或，

解得或或．

故不等式的解集为.

（2）由（1）可知，则，

则（当，时，等号成立）．

故最小值为．

【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型.