2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）及答案

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2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．(1)求二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．  2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．(1)求的面积；(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标；(3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．  3．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．  4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线经过B、C两点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴交于点D，垂足为N，连接交x轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，如图3，过点P作交y轴于点F，．点G在抛物线上，连接，，连接，求直线的解析式．  5．如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．(1)求二次函数的解析式；(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．   6．如图，抛物线y＝与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝CD．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．  7．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．(1)求抛物线解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．   8．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；(1)求k的值；(2)点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；(3)抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．  9．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线．连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．(1)求的长度；(2)连接，当的面积最大时，求点D的坐标；(3)当m为何值时，与相似．   10．如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，设四边形和的面积分别为和，记，求最大值点的坐标及的最大值；(3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．   11．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；(2)连接AB，求∠B的余切值；(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．  13．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．(1)求点C及顶点M的坐标．(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值．(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   14．如图，抛物线L1：y＝ax2﹣2x＋c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．抛物线L2与L1关于x轴对称．(1)求抛物线L1与L2的函数表达式；(2)已知点E是抛物线L2的顶点，点M是抛物线L2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M向其对称轴作垂线交对称轴于P，是否存在这样的点M，使得以P、M、E为顶点的三角形与△BCD相似，若存在请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．  15．综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点，的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点与点关于轴对称，是直线上方抛物线上一动点，连接、交于点．(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)在点运动的过程中，求：的最大值；(3)在轴上是不存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为S，求S关于的函数表达式指出自变量的取值范围和S的最大值；(3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得∠CMN＝90°，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．  17．如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式与点P的坐标；(2)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；(3)连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）18．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．(1)则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；(2)设点，（其中）都在抛物线上，若，请证明：；(3)已知点M是线段上的动点，点N是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点N的坐标．
参考答案：1．(1)(2)函数的最大值为5，最小值为(3)存在，或 2．(1)10；(2)最大值为，；(3)N点坐标为或或． 3．(1)，(2)或(3) 4．(1)(2)(3) 5．(1)(2)或(3)存在， 6．(1)(2)y=(3)Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0） 7．(1)(2)存在，(3)的值为1 8．(1)k＝4(2) 9．(1)4(2)（，）(3)当或时与相似 10．(1)(2)，最大值为56(3)存在，，， 11．(1)(2)(3)存在，点H的坐标为或 12．(1)；E（2，0）(2)3(3)M点的坐标为（5，0）或（7，0） 13．(1)C点坐标为（0，-3），顶点M的坐标为（1，-4）；(2)(3)P点的坐标为或（-1，-2）． 14．(1)抛物线L1：，抛物线L2：；(2)或． 15．(1)，A(-3，0)；(2)；(3)存在，M(0，6)或(0，-6)  16．(1)(2)S关于的函数表达式为，S的最大值是(3)存在，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣） 17．(1)，顶点坐标为P（2，－1）(2)(3)①存在，或；②存在，点M的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4） 18．(1)（1，0），（4，0），(0，2)；(3)点N的坐标为（，）或（3，2）．