河南省濮阳市范县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年河南省濮阳市范县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数是二次函数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列抛物线中，过原点的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第象限．(    )

A. 四 B. 三 C. 二 D. 一

7. 某梨园年产量为吨，预计年产量为吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为，则根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的方程的两实数根分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9. 若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

10. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于、两点，且、分别为顶点．则下列结论：
    ；；是等腰直角三角形；当时，，其中正确结论的个数是(    )
     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 写出一个二次项系数为，且一个根是的一元二次方程______．
12. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．
13. 已知抛物线经过点，，则______填“”，“”，或“”．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______．

15. 如图，是的外接圆，，则的度数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程
     
17. 本小题分
    如图，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出关于原点对称的，并写出，，的坐标；
    请画出绕点逆时针旋转后的．

18. 本小题分
    已知关于的方程．
    求证：取任何实数值，方程总有实数根；
    若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
19. 本小题分
    已知抛物线的顶点为，与轴交点为
    求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标．
    观察图象，写出当时，自变量的取值范围．
20. 本小题分
    如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，求线段的长．
     
21. 本小题分
    已知内接于，过点作直线．
    如图所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的一个条件是至少说出两种：______或者______．
    如图所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗？试证明你的判断．
     
22. 本小题分
    某花木公司在天内销售一批鲜花．其中，该公司的鲜花批发部日销售量万朵与时间为整数，单位：天部分对应值如表所示．

另一部分鲜花在淘宝网销售，网上销售日销售量万朵与时间为整数，单位：天关系如图所示．
请你从所学过的一次函数、二次函数中确定哪种函数能表示与的变化规律，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
观察鲜花网上销售量与时间的变化规律，写出销售量与的函数关系式及自变量的取值范围；
设该花木公司日销售总量为万朵，写出与时间的函数关系式，并判断第几天日销售总量最大，并求出此时最大值．

23. 本小题分
    阅读下面材料：
    小伟遇到这样一个问题：如图，在其中是一个可以变化的角中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值．
    
    小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点落在上时，此题可解如图．
    请你回答：的最大值是______ ．
    参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
    如图，等腰边，为内部一点，请写出求的最小值长的解题思路．
    提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把绕点逆时针旋转，得到．
    请画出旋转后的图形
    请写出求的最小值的解题思路结果可以不化简．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念：旋转度后能与原来完全重合的图形叫中心对称图形，关键是要寻找对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数是二次函数，
，且，
，
故选：．
根据二次函数的定义，令，且，即可求出的取值范围．
本题考查了二次函数的定义，要注意，二次项系数不能为．
 

3.【答案】 

【解析】解：、中，当时，，不过原点；
B、中，当时，，不过原点；
C、中，当时，，过原点；
D、中，当时，，不过原点；
故选：．
分别求出时的值，即可判断是否过原点．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转得到，
，
是等腰直角三角形，
，
，

，


，
故选：．
根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得结果．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最近，点离直线最远，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线抛物线为常数，且的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
【解答】
解：一元二次方程无实数根，
，
，
，
，即，
，即，
一次函数的图象不经过第一象限，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：设该梨园梨产量的年平均增长量为，
根据题意得：．
故选：．
设该梨园梨产量的年平均增长量为，根据该梨园年及年的产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
先求出二次函数图象的对称轴，根据对称性求出二次函数图象和轴的另一个交点的坐标，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
即二次函数图象的对称轴是直线，
设二次函数的图象与轴的另一个交点的横坐标是，
二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
解得：，
关于的方程的两实数根分别是和，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：函数的图象与坐标轴有三个交点，
抛物线与轴有两个交点，与轴有一个交点，且与轴、轴的不能为，
且，
解得：且，
故选：．
抛物线与轴，轴共有个交点，必定与轴有两个交点，与轴的交点不能与轴的交点重合，即不能为，于是考虑，进而确定的取值范围．
考查抛物线与坐标轴的交点的问题，需要考虑的符号，同时还要注意抛物线与轴的交点不能为，容易忽略．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
把点坐标代入，求出的值，即可得到函数解析式；令，求出、、的横坐标，然后求出、的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
【解答】
解：抛物线与交于点，
，
解得：，故正确；
过点作于点，

是抛物线的顶点，
，，
，，
，，
，故错误；
当时，，
解得：，，
故B，，
则，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
时，
解得：，，
当时，，故错误．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，设该一元二次方程为：；
该方程的一个根是，
该一元二次方程可以是：．
即
故答案是：．
本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的解的定义，利用待定系数法求出方程式．
 

12.【答案】 

【解析】解：
或．
所以菱形的面积为：．
菱形的面积为：．
故答案为：．
先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．
本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数的对称轴为直线，
所以点，，到直线的距离分别为和，
所以．
故答案为：．
先根据顶点式得到抛物线为常数的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为．
的最小值为．
的最小值为．
故答案为：．
先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出的最小值即可，
本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得的最小值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
故答案为：．
连接，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：因式分解得，
或，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
根据解一元二次方程的方法因式分解法解方程即可．
 

17.【答案】解：如图所示：，即为所求，；


如图所示：，即为所求 

【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
则取任何实数值，方程总有实数根；

解：斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，
，，
则，
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
故的周长． 

【解析】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
 

19.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得．
解得，
抛物线的解析式为，其函数图象如下：


由函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，
或． 

【解析】根据顶点坐标设其顶点式，再将代入求解可得；
根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得．
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次不等式间的关系．
 

20.【答案】解：连接，如图所示：

弦，为圆的直径，
为的中点，又，
，
又，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
则的长度为． 

【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，又由直径的长求出半径的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长．
 

21.【答案】解：； ，  答案不唯一
是的切线．                                             

证明：过点作直径，连接，
则，，
，
，
，
，
为直径，
是的切线． 

【解析】

解：，，
理由是：，
，
是直径，
是的切线；
是直径，
，
，
，
，
即，
是直径，
是的切线； 
答案不唯一                                            
见答案
【分析】求出，再根据切线的判定定理推出即可；
作直径，连接，根据圆周角定理求出，，求出，再根据切线的判定推出即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．  

22.【答案】解：由图表数据观察可知与之间是二次函数关系，
设，
则，
解得，
故与函数关系式为；
销售天后，该花木公司采用了降价促销或广告宣传的方法吸引了淘宝买家的注意力，日销量逐渐增加；
当，设，
函数图象经过点，
，
解得，
所以，，
当时，设，
函数图象经过点、，
，
解得，
所以，，
综上，；
当时，



，
抛物线开口向下，的取值范围在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值，；
当时，，
，
，
抛物线开口向下，顶点在的取值范围内，
当时，有最大值为，
该花木公司销售第天，日销售总量最大，最大值为万朵． 

【解析】先判断出与之间是二次函数关系，然后设，然后取三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
销售量增加，从降价促销上考虑，然后分两段利用待定系数法求一次函数解析式解答；
分时，时两种情况，根据总销售量，整理后再根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售量的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

23.【答案】；
旋转后的图形如图；

如图，

是等腰三角形，．
以为中心，将逆时针旋转得到B.则，，，
．
当、、、四点共线时，最短，即线段最短，
，
长度即为所求．
过作延长线于．
由旋转可知，
．
，
，
；
在中，． 

【解析】

解：逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
在中，，即，
则当点、三点共线时，，
即，
即的最大值是：；
故答案是：．
见答案；
见答案．
【分析】
由旋转得到，有是等边三角形，当点、三点共线时，，最大即可；
由旋转得到结论，只有，、、、四点共线时，最短，即线段最短，根据勾股定理，即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．