浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“对任意，都有”的否定是（    ）

A．对任意，都有 B．不存在，使得

C．存在，使得 D．存在，使得

3．设, 则 “”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（    ）

A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．设是上的任意实值函数．如下定义两个函数和，对任意，，则下列等式不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

10．己知函数，下列关于的性质，推断正确的有（    ）

A．函数是偶函数 B．函数与的值域相同

C．在上递增 D．在上有最大值

11．函数，若在上单调递减，则实数a可以为（    ）

A．0 B． C． D．

12．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．， D．

三、填空题

13．函数的定义域是____________．

14．计算：____________．

15．幂函数为偶函数，且在区间上是减函数，则a等于____________．

16．当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________．

17．已知函数，则方程的不同根的个数为____________．

四、解答题

18．已知集合．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．

19．已知函数．

(1)若的解集为，求的解析式；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

20．已知实数，且满足不等式.

（1）解不等式；

（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.

21．己知函数是奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断函数的单调性并加以证明；

(3)若对于任意实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

22．已知：函数，（其中，）

（1）若，求的最小值：

（2）若，且函数定义域、值域均为，求b的值；

（3）若函数的图像与直线在上有2个不同的交点，试求的范围．

参考答案：

1．A

【解析】利用集合的补集和交集定义求解即可．

【详解】，

故选：A

2．D

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】“对任意，都有”的否定是“存在，使得”,

故选：D

3．A

【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.

【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

4．B

【解析】由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解.

【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，

所以,解得,

所以实数a的取值范围是.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．D

【分析】设年后研发资金开始超过万元，根据条件列出关于的不等式，利用指对互化、对数的运算法则以及换底公式并结合提供的数据求解出的值，从而确定出对应的年份.

【详解】设年后研发资金开始超过万元，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以年研发资金开始超过万元，

故选：D.

6．C

【分析】结合指对幂函数的单调性得.

【详解】，故.

故选：C

7．C

【分析】根据的值域为，即，即可求出，，，以及的范围，从而可求解．

【详解】的定义域为，值域为，即；

对于A,，即的值域为，故A错误；

对于B,，即的值域为,故B错误；

对于C,，即的值域为，故C正确；

对于D,，即的值域为，故D错误．

故选：C．

8．A

【分析】先将式子左右两边加上，再利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】因为，，

所以，

当且仅当，，即时，等号成立，

所以，则，

所以的最小值为.

故选：A.

（特别说明，该题题干有误，将代入即可得知，故修改了题干，请审核老师阅后删除.）

9．B

【分析】根据定义两个函数和对任意，；，然后逐个验证即可找到答案．

【详解】对于A,，，

；

而；

,

对于B,,

,

,

对于C,，

,

；

对于D,，

，

．

故选：B．

10．BC

【分析】由奇偶性的定义判断A；由换元法判断B；由复合函数的单调性判断C；由基本不等式判断D

【详解】恒成立，的定义域是，

为奇函数，故A错；

令与的值域相同，故B对；

令

由复合函数单调性知：在上递增，故C对；

当取得，故D错；

故选：BC

11．CD

【分析】在上单调递减结合复合函数单调性得，在上单调递增，结合二次函数单调性列式求解即可.

【详解】令，由在上单调递减即为减函数，则在上单调递增，则，解得，故AB不符合、CD符合.

故选：CD

12．ABC

【解析】利用均值不等式以及不等式性质即可判断.

【详解】因为，所以，，所以，

所以，故A正确；

因为，所以，所以，故B正确；

因为，所以，，故C正确；

因为，所以，，

所以，故D错误．

故选：ABC．

13．##

【分析】根据函数有意义列不等式求解即可.

【详解】由题意可得： 解得，

即定义域为；

故答案为： .

14．

【分析】根据对数运算和指数运算法则，求解即可.

【详解】

.

故答案为：.

15．2或

【分析】由幂函数为偶函数，且在上是减函数得负偶数，即可讨论得结果.

【详解】幂函数为偶函数，且在上是减函数，∴是负偶数，当.

故答案为：2或.

16．

【分析】把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答.

【详解】不等式，函数在上单调递减，

当时，，依题意，，即，解得，

所以实数m的取值范围是.

故答案为：

17．11

【分析】设，先解出，再分别求解即可.

【详解】设，由得或，解得或或或，

（1）当，由得或，解得或；

（2）当，由得或，无解；

（3）当，由得或，解得或或；

（4）当，由得或，解得或或.

故不同根的个数为11.

故答案为：11

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式可化简集合，进而根据集合的交并补运算即可求解，

（2）将必要不充分条件转化为集合间的包含关系即可求解.

【详解】（1）当时，，

由得，

所以

（2）由于“”是“”的必要不充分条件，所以 且，

，由于 ，

所以只需要，故

19．(1)

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式的性质可得方程的两根为，由韦达定理可得结果；

（2）易得，即求出和的范围，结合可得结果.

【详解】（1）的解集为

的两根为

，

；

（2）时，不等式恒成立

，所以

所以

所以的取值范围是.

20．（1）（2）

【详解】分析：（1）由题意结合指数函数的单调性可得，结合函数的单调性和函数的定义域可得不等式的解集为.

（2），令，结合反比例函数的性质和对数函数的性质可得.

详解：（1）由题意得: ，∴，

∴，解得.

（2），

令，当时， ， ，

所以，所以.∵，

∴的对数函数在定义域内递减，

∴，∴.

点睛：本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．(1)1；

(2)减函数，证明见解析；

(3)或.

【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；

（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；

（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k的范围.

【详解】（1）由函数是奇函数，可得：，

即：，，

当时，，此时，

即是奇函数，

综上，.

（2）函数为单调递减函数，证明如下，

由(1)得：，任取,且，

则，

，，即：，

，即在上是减函数；

（3）是奇函数，

不等式恒成立等价为

恒成立，

在上是减函数，

，即恒成立，

设，可得当时，恒成立，

可得，解得或，

故的取值范围为：或.

22．（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）将写成分段函数形式，分别考虑每一段的最小值，从而确定出的最小值；

（2）先分析的单调性，然后根据自变量与函数值的对应关系求解出的值；

（3）根据、与在上的交点个数分类讨论，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）当时，，

当时，，对称轴为，所以在上递增，所以；

当时，，对称轴为，所以在上递减，在上递增，所以，

所以；

（2）当时，，对称轴为，且，所以在上单调递增，

当时，，对称轴为，所以在上单调递增，

综上可知：在上单调递增，

所以，所以，所以；

（3）由，可得，

时，，

时，，

时，，

由于的对称轴在轴左侧，

则与在上最多有一个交点；

若与在上有两个交点，且，即位于区间左侧，

则，可得，

其中与矛盾，所以此时无解；

若与在上有两个交点，且，即有一部分位于区间，

则可得，

为确保与没有交点，则，

又，所以，这与矛盾，所以此时无解；

若、分别与在上有个交点，

则，

解得；

综上所述：.

【点睛】思路点睛：分析含绝对值的函数的常规思路：

（1）考虑绝对值中等于零时的取值；

（2）根据（1）中的值将函数写成分段函数形式；

（3）根据问题的要求进行分类分析，将求解出的结果取并集即为最终结果.