2022学年第一学期杭州市高三教学质量检测数学模拟卷及解析

2022学年第一学期杭州市教学质量检测

数学模拟卷参考答案

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选、错选、不选均不得分。

1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. A  

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分。

9.    10.    11.    12.   

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.      14.    

15.    16.  

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：由可得，

即，

因为，所以，因为，所以．

由可得，则，因为，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得

由余弦定理可得，解得．记，，则点在线段上且为的中点，记的中点为，边上的高为，，，则．

，所以的最小值为．

18. 解：因为，，所以，因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．所以．由题意知，．所以，即 ，又，则．

所以．又，则，则．

 ，               

    ，   

得，

            ．

所以．

19. 解：依题意，折痕有下列三种情形：

折痕的端点，分别在边，上；

折痕的端点，分别在边，上；

折痕的端点，分别在边，上．

在情形、中，故当时，折痕必定是情形．

设，，则  

因为，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号．

即的最大值为                     

由题意知，长方形的面积为．

因为，，所以，．

(ⅰ)当折痕是情形时，设，，则，即．

由得．

所以， 

令，则，设，

则，令，得负舍．

所以的取值范围为，故的取值范围是；           

(ⅱ)当折痕是情形时，设，，

则，即．

由得．

所以，．

所以的取值范围为；            

(ⅲ)当折痕是情形时，设，，

则，即．

由得．

所以，．所以的取值范围为

综上所述，的取值范围为 

20. 解：由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，

对两边取自然对数得，令，，，则，

因为，，

所以关于的回归方程为，所以关于的回归方程为．

由，

，

且，当时，，当时，．

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极大值，即最大值，故；

由可知，当时，取最大值，

又，则，由题意可知，

故，．

21. 解：Ⅰ抛物线：经过点，，解得，

由题意，直线的斜率存在且不为，设过点的直线的方程为，设，，联立方程组可得，消可得，，且，解得，且，则，，又、要与轴相交，直线不能经过点，即，故直线的斜率的取值范围是；

Ⅱ证明：设点，，则，，因为，所以，故，同理，

直线的方程为，

令，得，同理可得，

因为，

，为定值． 

22. 解：∵(，，∴

即为偶函数．

（1）当时，，

当时，，所以，

所以当时，f'(x)0；当时，f'(x)0；

所以函数在上单调递增，在单调递减；

又根据偶函数的图象关于轴对称知，函数在上单调递增，在上单调递减；

所以在和上单调递增，在和上单调递减；

（2）因为，所以，

当a1时，f'(x)0对任意恒成立，此时在上单调递增，

又，所以关于的方程无实数根；

当时，使得，即．

且当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在单调递减；

，，

①当，即时，关于的方程在区间上无实数根，

又为偶函数，所以关于的方程在上无实数根；

②当，即时，关于的方程在区间上有1个实数根，

又为偶函数，所以关于的方程在上有2个实数根；

综上，当时，关于的方程在上有2个实数根；

​​​​​​​当时关于的方程在上无实数根．

数学模拟卷小题解析

1. 【分析】

本题考查补集以及集合之间的关系，属于基础题．

根据题意画出图，由图即可得到．

【解答】

解：集合，，满足：，

如图，

．

故选：．

2. 【分析】

本题主要考查函数的单调性问题及充分、必要条件，属于基础题．

根据为单调减函数解出的范围，即可判断得结果．

【解答】

解：由题意可得为减函数，则，解得．

故选：

3. 【分析】

本题考查排列组合问题中简单的分组分配问题，属于基础题．

根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算．

【解答】

解：根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种

故选D．

4. 【分析】

本题主要考查双曲线的基本性质，属于中档题．

利用双曲线的定义建立，，的关系即可解得答案．

【解答】

解：由题意可得焦点到渐近线的距离为，又因为，

所以，则，，

在中由余弦定理得，代入化简得，则渐近线方程．

故选：

5. 【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数，以及正弦定理，属于中档题．

先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边可得答案．

【解答】

解：因为，，

则

．

故选：．

6. 【分析】

本题考查由数列的递推公式求通项公式及分组求和，属于综合题．

由递推公式确定通项公式后，再求．

【解答】

解：因为，所以

又，所以是首项为，公比为的等比数列．

所以，则

故选：．

7. 【分析】

本题考查分段函数的最值问题、恒成立问题及分类讨论的思想，属于综合题．

先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题．

【解答】

解：因为当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，

所以问题转化为在上恒成立，令，

当时，不符合．

当时，对称轴，则或

解得或，所以

故选：．

8. 【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，难度适中.

解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是构造函数g（x）=cosxf（x）即可.

【解答】

解：：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x），

∴sinxf（x）＞f′（x）cosx，即sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，

令g（x）=cosxf（x），

则 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，

所以函数g（x）在（0，）为减函数，

∴cosf（）＞cosf（），

∴f（）＞f（），

故选A．

9. 【分析】

本题考查构造新函数，由函数图象判断自变量的大小，属于综合题．

等式两边取对数，构造函数函数，结合图象得到与的范围．

【解答】

解：两边取对数，得，构造函数，则．

，则在上单调递增，在上单调递减，且，

得的图象如右所示，

又，所以，．

故选：

10. 【分析】

本题考查了复数的运算以及几何意义，属于简单题．

【解答】

解：对于选项，，平方可得，项正确；

对于选项，取，则，当，项错误；

对于选项，，平方可得，即，

因此存在实数，使得，项正确；

对于选项，取，但，项错误．

11. 【分析】

本题考查新定义背景平面向量向量的线性运算，以及点到直线的距离公式，属于综合题．

根据题目的新定义对选项逐一判断即可．

【解答】

解：对于选项：若， ，

则；

因为，所以；故A错误；

对于选项：设以为圆心、半径为的圆上任意一点为，因为，所以，得，，，

即故B正确；

对于选项：， ，则，

即，

，故C错误；

对于选项：若，斜平面内直线的方程为，则在直角坐标下的直线的方程为，则原点到直线的方程为故D正确．

故选：

12. 【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系及应用，属于综合题．

通过设直线方程联立方程组，再借助韦达定理表示出所需验证的代数式是否为定值．

【解答】

解：由已知，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，消去得：，

设，，

则与有关，不是定值，故选项A错误．

是定值，故选项B正确．

      与有关，不是定值故选项C错误．

定值故选项D正确．

故选：

13. 【分析】

本题考查正态曲线的性质，属于基础题．

利用正态曲线关于对称，得到与的关系．

【解答】

解：因为，所以正态曲线关于对称，且，

所以，所以．

14. 【分析】

本题考查等差数列的通项公式及基本不等式的应用，属于中档题．

先根据得到，再借助基本不等式求的最小值．

【解答】

解：因为，则，化简得

因为数列的各项均为正数，则，，则

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．

15. 【分析】

本题主要考查了圆的方程的综合运用，与圆有关的轨迹问题，两点间的距公式，中点坐标公式运用，考查了分析和运算求解能力，属于较难题．

设、，由条件可得，结合可得，代入坐标运算可得，即，设的中点为，则，利用中点坐标公式表示出点的轨迹方程，进而求出的取值范围即可求解．

【解答】

解：

由题意，设、，

则，

，

，即，

，

，

，

设的中点为，则，

得：

，

即，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

的取值范围为，

，

，

故答案为．

16. 【分析】

本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

先根据题意得，，，对于方程，将看成未知数，解二次方程得，由知，利用单调性结合的取值范围，即可得出的取值范围．

【解答】

解：得，，

，设，由

知，，由，得，

当时，有当，取最大，最大值；

当时，有当，取最小，最小值；

则的取值范围是．

故答案为．