2022-2023学年江苏省南通市启东市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市启东市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是2022年北京冬季奥运会的吉祥物“冰墩墩”，将图中的“冰墩墩”通过平移可得到下列选项中的( )
A. B. C. D.
2.下列数中，无理数的是( )
A. 9B. 0.314C. 316D. 13
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70∘，则∠DOE的度数为( )
A. 145°B. 110°C. 35°D. 70°
4.点Ma+1,a−3在x轴上，则点M的坐标为
( )
A. 0,−4B. 4,0C. −2,0D. 0,2
5.如图，把一块含30∘的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1=43∘，则∠2的度数为
( )
A. 13∘B. 17∘C. 23∘D. 27∘
6.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=9时，输出的y等于( )
A. 3B. 8C. 2D. ± 3
7.如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(3,1)，B(2,2)，则“宝藏”点C的位置是( )
A. (1,0)B. (1,2)C. (2,1)D. (1,1)
8.如图，AB//CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF=35°，则∠A是
( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
9.对于实数a、b，定义mina,b的含义为：当ab时，mina,b=b，例如：min1,−2.已知min 29,a=a，min 34,b= 34，且a和b为两个连续正整数，则3a−2b的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，平面直角坐标系中，长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A−1,2，B−1,−1，C1,−1，D1,2，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，……，则点M2023的坐标为( )
A. 1,0B. 1,2C. 0,−1D. −1,0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.同旁内角互补，改写成如果……那么……的形式____________．
12.若点P在第二象限，它到x轴，y轴的距离分别为3，1，则点P的坐标为______．
13.已知m的平方根是k+1和2k−2，则k=__________________．
14.已知A1,−2、B−1,2、E2,a、Fb,1，若将线段AB平移至EF，点A，E为对应点，则a−b的值为______．
15.比较实数大小： 7−3_________ 5−2(填“>”或“<”)．
16.如图，AB//CD，∠P=90∘，若∠A=30∘，∠E=48∘，则∠D的大小是______．
17.平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(1,4)，经过点A的直线l//x轴，点C为直线l上的一个动点，则线段BC的长度最小时点C的坐标为____．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形(实线)四条边上的整点的个数，假如按如图规律继续画正方形(实线)，请你猜测由里向外第2023个正方形(实线)的四条边上的整点共有_________个．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1) 81+3−27+ −232
(2)| 2− 3|+2 2
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3=180∘.试说明：∠GDC=∠B．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90∘( )
∴EF//AD( )
∴_____+∠2=180∘( )
又∵∠2+∠3=180∘(已知)
∴∠1=_____ ( )
∴_____ // _____ ( )
∴∠GDC=∠B( )
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形ABC的顶点A,B的坐标分别为(0,4),(−2,1)．

(1)直接写出点C的坐标为_________；
(2)平移三角形ABC，将点C移动到点F(6,−2)点，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E.①求点D,E的坐标；②在平面直角坐标系中画出三角形DEF；③求三角形COE的面积．
22.(本小题8分)
已知，4a−3的立方根是−3，−3a+b−1的算术平方根是4，c是 15的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求a−7b+c的平方根
23.(本小题8分)
如图，BE平分∠ABC交CD的延长线于E，∠ABC=2∠E,∠ADE=∠BCD．
(1)请说明AB//EF的理由；
(2)若AF平分∠BAD交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
24.(本小题8分)
(1)如图1，∠CEF=90∘，点B在射线EF上，若∠ABF=50∘，∠C=40∘，请说明AB/​/CD的理由；
(2)如图2，∠CEF=120∘，点B在射线EF上，且AB//CD.请写出∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由．
25.(本小题8分)
已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点(不与A重合)，连接BC．
(1)[问题提出]如图②，AB // CE，∠BCD=73 °，则：∠B=_____．
(2)[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．
(3)[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN // AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，OG//BE交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“近似距离”，给出如下定义：若|x1−x2|≥|y1−y2|，则点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2)的“近似距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则P1(x1,y1)与点P2(x2,y2)的“近似距离”为|y1−y2|．
(1)已知点P(−3,5)，点Q(1,0)，求点P与点Q的“近似距离”；
(2)已知点A(0,−2)，B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为4，试求出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值：____．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据平移的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A、图形不是原图形平移得到的，不合题意；
B、图形不是原图形平移得到的，不合题意；
C、图形是原图形平移得到的，符合题意；
D、图形不是原图形平移得到的，不合题意．
故选：C
本题考查了图形的平移，熟知平移的定义是解题关键，平移是一个图形整体沿某一条直线方向移动，平移的特点是连接对应点的线段平行或在同一直线上且相等．
2.【答案】C
【解析】【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A． 9=3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.316是无理数，故本选项符合题意；
D.13是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据对顶角的 性质可证得∠AOC=∠BOD，根据角平分线的定义可求得∠COE的度数，再根据∠DOE=180∘−∠COE即可求得答案．
【详解】∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=70∘．
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=12∠AOC=35∘．
∴∠DOE=180∘−∠COE=180∘−35∘=145∘．
故选A
本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据x轴上点的坐标特征来回答即可求解．
【详解】解：∵x轴上点的纵坐标为0
∴a−3=0
解得，a=3
∴M(4,0)
故选：B．
本题考查了直角坐标系内点的坐标，熟记坐标数轴上点的坐标特征是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据平行线的性质，得到∠3的度数，进而即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图，∵AB/​/CD，
∴∠1=∠3=43∘，
又∵∠2+∠3=60∘，
∴∠2=60∘−∠3=60∘−43∘=17∘，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，三角板及直尺的隐含条件是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入x=9时，取算术平方根为3，是有理数，
输入x=3时，取算术平方根为 3，是无理数，输出，
∴y= 3．
故选：A．
本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”的位置．
【详解】根据两个标志点A(3,1)，B(2,2)可建立如下所示的坐标系：
由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是(1,1)，
故选D．
考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】由垂直的定义与∠AEF= 90°，即可求得∠AEC的度数，又由直线AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．
【详解】∵AE⊥BF，
∴∠AEF= 90°，
∴∠AEC=90°−∠CEF=90°−35°= 55°，
∵ AB//CD，
∴∠A=∠AEC= 55°，
故选：C．
此题考查了平行线的性质与垂直的定义，注意掌握两直线平行，内错角相等定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出3a−2b的值即可．
【 详解】解：∵min 29,a=a，min 34,b= 34．
∴a< 29，b> 34．
∵a，b是两个连续的正整数．5< 29<6，5< 34<6，
∴a=5，b=6．
∴3a−2b=3×5−2×6=3．
故选：C．
本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】根据点坐标计算长方形ABCD的周长为3+2×2=10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用2023÷5的余数即可求出第2023次相遇点的坐标．
【详解】解：长方形ABCD的周长为3+2×2=10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t=10，
解得t=2，
∴当t=2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为1,0，
当t=4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为−1,0，
当t=6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为1,2，
当t=8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为0,−1，
当t=10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为−1,2，
当t=12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为1,0，
∴五次相遇一循环，
∵2023÷5=404⋯⋯3，
∴M2023的坐标为1,2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，根据题意找出相遇点的坐标的变换规律是解题的关键．
11.【答案】如果两个角是同旁内角．那么这两个角互补．
【解析】【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．分清题目的条件与结论，即可解答．
【详解】把命题“同旁内角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是同旁内角．那么这两个角是互补；
故答案为如果两个角是同旁内角．那么这两个角互补．
本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
12.【答案】(−1,3)
【解析】【分析】根据点P在第二象限，可得点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，再由它到x轴，y轴的距离分别为3，1，即可求解．
【详解】解：∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵它到x轴，y轴的距离分别为3，1，
∴点P的坐标为(−1,3)．
故答案为：(−1,3)
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵m的平方根是k+1和2k−2，
∴k+1+2k−2=0，
∴k=13，
故答案为：13．
本题主要考查了平方根的概念，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
14.【答案】−3
【解析】【分析】根据点A平移到E，点B平移到点F，得到平移的方向和距离，在对应求出a和b的值，即可求解．
【详解】解：∵线段AB平移至EF，即点A平移到E，点B平移到点F，
而A1,−2、B−1,2、E2,a、Fb,1，
∴点A向右平移一个单位到E，点B向下平移1个单位到F，
∴线段AB先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到EF，
∴−2−1=a，−1+1=b
∴a=−3,b=0，
∴a+b=−3+0=−3．
故答案为−3．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．解决本题的关键是通过点的坐标之间的关系确定线段平移的方向和距离．
15.【答案】<
【解析】【分析】根据实数比较大小的原则，比较大小即可．
【详解】解：∵2< 7<3，2< 5<3，
∴ 7−3<0， 5−2>0，
∴ 7−3< 5−2，
故答案为：<．
本题考查了实数大小的比较，在有无理数时，先估算无理数的范围，再进行大小比较．
16.【答案】12°
【解析】【分析】由三角形外角定理∠1=78°，由平行线的性质得到∠PMD=∠1=78°，再根据三角形外角定理即可得解．
【详解】解：如图，延长EP交CD于点M，
∵∠A=30°，∠E=48°，
∴∠1=∠A+∠E=78°，
∵AB//CD，
∴∠PMD=∠1=78°，
∵∠EPD=∠PMD+∠D，∠EPD=90°，
∴∠D=90°−78°=12°，
故答案为：12°．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形外角定理是解题的关键．
17.【答案】(1,2)
【解析】【详解】解：如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短．
∵A(−3,2)，B(1,4)，AC//x轴，
∴BC=2，
∴C(1,2)，
故答案为：(1,2)．
本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18.【答案】8092
【解析】【分析】观察图形，分别计算出前三个正方形各边上的整点数的和，可得出第一个正方形各边上共有4个整点，第二个正方形有8个，第三个正方形有12个，根据以上分析可以发现第n个正方形的整数点有4n个，据此规律进行解答即可．
【详解】解：第1个正方形有4×1=4个整数点；
第2个正方形有4×2=8个整数点；
第3个正方形有4×3=12个整数点；
…
第n个正方形有4n个整数点；
所以第2023个正方形有4×2023=8092个整数点．
故答案为：8092．
本题主要考查图形规律及推理能力，运用特殊到一般的推理归纳的思想．
19.【答案】解：(1) 81+3−27+ −232
=9+(−3)+23
=623；
(2)| 2− 3|+2 2
= 3− 2+2 2
= 3+ 2．

【解析】【分析】(1)先求算术平方根以及立方根，再求和即可；
(2)先求绝对值，再算二次根式的加减法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90∘(垂直的定义)
∴EF//AD(同位角相等，两直线平行)
∴∠1+∠2=180∘(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠2+∠3=180∘(已知)
∴∠1=∠3 (同角的补角相等)
∴ AB//DG(内错角相等，两直线平行)
∴∠GDC=∠B.(两直线平行，同位角相等)

【解析】【分析】根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等等等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：根据题目中的图示可得，C2,2，
故答案为：2,2．
【小问2详解】
解：①∵点C(2,2)，经过平移后移动到点F(6,−2)，
∴点C到点F的平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点A(0,4)向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度得到点D的坐标为(4,0)，
点B(−2,1)向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度得到点E的坐标为(2,−3)，
∴D(4,0)，E(2,−3)；
②由①找出点D(4,0)，E(2,−3)，F(6,−2)，连接即可，如图所示，

∴▵DEF即为所求图形；
③如图所示，C(2,2)，E(2,−3)，CE与x轴的交点为G，

∴CE=2−(−3)=5，OG=2，
∴S△COE=12×5×2=5，
∴三角形COE的面积为5．

【解析】【分析】(1)在平面直角坐标系结合图形即可求解；
(2)①根据点的平移的性质即可求解；②找出点D,E,F，连接即可求解；③根据点的特点求出边的长度，图形结合及图形的面积计算方法即可求解．
本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移变换，掌握图形平移，点平移的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵4a−3的立方根是−3，−3a+b−1的算术平方根是4，
∴4a−3=−27,−3a+b−1=16，
∴a=−6,b=−1,
∵c是 15的整数部分，
∴c=3．
(2)将a=−6,b=−1,c=3代入a−7b+c得：
a−7b+c=−6−7×−1+3=4，
∴a−7b+c的平方根是±2．

【解析】【分析】(1)由题意可得4a−3=−27,−3a+b−1=16，求得a=−6,b=−1,由c是 15的整数部分，即可得到c=3；
(2)将a=−6,b=−1,c=3代入a−7b+c得a−7b+c的值，进一步即可得到答案．
此题考查了算术平方根、立方根、平方根的意义、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】【小问1详解】
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=2∠E，
∴∠E=∠EBA，
∴AB//EF，
【小问2详解】
AF⊥BE，理由如下：
∵∠ADE=∠BCD，
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180∘，
∵AF平分∠BAD，
∴∠OAB=12∠DAB，
∵∠ABO=12∠ABC，
∴∠BAO+∠OBA=90∘，
∴AF⊥BE，

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义，以及已知条件可得∠E=∠EBA，进而可得AB//EF；
(2)根据已知条件可得AD//BC，根据平行线的性质∠BAD+∠ABC=180∘，进而根据角平分线的定义即可得∠BAO+∠OBA=90∘，进而判定AF⊥BE．
本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：过点E作EN/​/AB，

∵EN//AB，
∴∠FEN=∠ABF=50∘，
∴∠NEC=90∘−∠FEN=90∘−50∘=40∘，
∵∠C=40∘，
∴∠NEC=∠C，
∴NE//CD，
∴AB/​/CD．
(2)解：数量关系为∠ABE−∠C=60∘，理由如下：
过点E作EN/​/AB，

∵EN//AB，
∴∠ABE+∠FEN=180∘，
∴∠FEN=180∘−∠ABE，
∵AB/​/CD，
∴EN//CD，
∴∠NEC=∠C，
∵∠FEC=∠FEN+∠NEC=∠FEN+∠C=120∘，
即∠FEN=120∘−∠C，
∴180∘−∠ABE=120∘−∠C，
∴∠ABE−∠C=60∘．

【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求解；
(2)利用平行线的性质及角的和差求解．
本题考查了平行线的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)因为CE//AB，
所以∠A=∠DCE=50∘，∠B=∠BCE
因为∠BCD=73 °，
所以∠BCE=∠BCD−∠DCE=23∘，
故答案为：23∘
(2)∠BCD=∠A+∠B，
如图②，过点C作CE//AB，
则∠A=∠DCE，∠B=∠BCE．
因为∠BCD=∠DCE+∠BCE，
所以∠BCD=∠BAD+∠B，
(3)不变，
设∠ABE=x，
因为BE平分∠ABC，
所以∠CBE=∠ABE=x．
由(2)的结论可知∠BCD=∠BAD+∠ABC，且∠BAD=50∘，
则：∠BCD=50∘+2x．
因为MN//AD，
所以∠BON=∠BCD=50∘+2x，
因为OF平分∠BON，
所以∠COF=∠NOF=12∠BON=25∘+x．
因为OG//BE，
所以∠COG=∠CBE=x，
所以∠FOG=∠COF−∠COG=25∘+x−x=25∘．

【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求出∠A=∠DCE=50∘，再求出∠BCE的度数，利用内错角相等可求出角的度数；
(2)过点C作CE//AB，类似(1)利用平行线的性质，得出三个角的关系；
(3)运用(2)的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出∠FOG的度数，可得结论．
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
26.【答案】【小问1详解】
∵点P(−3,5)、点Q(1,0)，|−3−1|<|5−0|=5，
∴点P与点Q的“近似距离”为5．
【小问2详解】
①∵B为x轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(x,0)．
∵A、B两点的“近似距离”为4，A(0,−2)，
∵|0−x|=4，|−2−0|=2，
解得x=4或x=−4，
∴点B的坐标是(4,0)或(−4,0)，
②∵设点B的坐标为(x,0)，且A(0,−2)，
∴|−2−0|=2，|0−x|=x，
∴若|−2−0|<|0−x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|>2，
若|−2−0|≥|0−x|，则点A、B两点的“近似距离”为|−2−0|=2；
∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，
故答案为：2．

【解析】【分析】(1)根据题意即可得点P与点Q的“近似距离”；
(2)①设点B的坐标为(x,0).由|0−x|=3，|−2−0|=2，解得x=3或x=−3，即可得出答案；
②设点B的坐标为(x,0)，且A(0,−2)，则|0−x|=x，|−2−0|=2，若|−2−0|<|0−x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|>2，若|−2−0|≥|0−x|，则点A、B两点的“近似距离”为|−2−0|=2；即可得出结果
本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．