上海市上海中学东校2021-2022学年高一下学期期末数学试题及答案

上海市上海中学东校2021-2022学年高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则______．

2．在等差数列中，，公差，则_______．

3．函数的最小正周期为___________.

4．已知，则在方向上的数量投影为_______．

5．若﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､）是等比数列，则实数___________.

6．已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则___．

7．已知平面向量，，满足，，且，的夹角为，则________．

8．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；

9．在中，“”是“”的_____条件．

10．已知和均为等差数列，若，则的值是____．

11．已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且，则的最小值是_____．

12．已知数列满足，是数列的前项和，则______．

二、单选题

13．下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小没有方向 B．

C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等

14．函数，（其中，，） 其图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

15．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（    ）

A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元

16．数列满足，，，则的整数部分是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题

17．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

18．已知向量，．

(1)求；

(2)若向量与互相垂直，求的值．

19．已知数列

(1)令，求证：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

20．如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为.

(1)求关于的函数关系式；

(2)求的最大值及相应的角．

21．已知数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得恒成立（其中且），若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．3

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】解：由题意可得，且，解得.

故答案为：3.

2．13

【分析】根据等差数列的通项即可得解.

【详解】解：因为，公差，

所以.

故答案为：13.

3．

【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.

【详解】函数的最小正周期.

故答案为：

4．

【分析】根据投影的定义求解即可.

【详解】解：由，

得，

所以在方向上的数量投影为.

故答案为：.

5．-3

【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.

【详解】﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､）是等比数列，

.解得：.

又，，则.

故答案为：

6．

【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.

【详解】，，即.

故答案为：.

7．

【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；

【详解】解：因为，，且，的夹角为，

所以，

所以

故答案为：

8．

【分析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.

【详解】当时，不等式左边为；

当时，不等式坐标为；

故增加的项数为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.

9．充分不必要

【分析】在中，先化简，再根据充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】在中，由，可得或，

即或，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

10．12

【分析】设数列和的公差分别为，根据题意可求得，再根据等差数列的通项即可得解.

【详解】解：设数列和的公差分别为，

由，

得，

所以.

故答案为：12.

11．

【分析】延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再根据三点共线，可得的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.

【详解】解：延长交于点，

则点为的中点，且，

故，

又因为，

所以，

因为三点共线，

所以，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值是.

故答案为：.

12．6072

【分析】分为奇数和偶数两种情况讨论，即当时，有，，当时，有，，从而可得，即可得出答案.

【详解】解：由，

当时，有，，

当时，有，，

所以，

，

，

作差可得，

所以，

所以.

故答案为：6072.

13．B

【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．

【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

由于与方向相反，长度相等，故B正确；

因为零向量的模为0，故C错误；

与线段的长度相等，故D错误．

故选：B．

14．B

【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.

【详解】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此，

即，因为，

所以，因为，

所以，即，因此，

而，

而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象，

故选：B

15．A

【分析】设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.

【详解】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.

故选：A.

16．C

【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到，再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果.

【详解】因为数列满足，，

所以，即，

所以，

所以，

又因为，即，

所以，所以，

，，，，，，

，即，，

，

因此的整数部分是.

故选：C.

17．(1)

(2)

【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.

【详解】（1）

（2）

18．(1)1

(2)

【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；

（2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解.

【详解】（1）由，，

.

（2）若向量与互相垂直，

则，

所以．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）证明：因为，所以，即，

又，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；

（2）解：由（1）得，

，

则，

，

两式相减得，

所以．

20．(1)

(2)的最大值为，此时

【分析】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形,则

,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.

（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.

【详解】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形．

由扇形半径为1m，得，.

在△中，

,

,

，.

（2）由（1）得.

∵，∴，∴

当时，.

21．(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由时，，时，即可求得；

（2）由题意可得，则，可得，然后用累加法求得，即可得出答案．

【详解】（1）当时，，

当时，，

当时，也适合上式，

所以；

（2），，其中

则，即，所以，

由，，，，

累加得，

所以，

则，故存在关于的整式满足题意．