江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案

江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．与角的终边相同的角的集合是

A．

B．

C．

D．

2．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为

A．3 B．6 C．9 D．12

3．已知， 则a，b，c的大小关系是（ ）

A．b>c>a B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a

4．函数的图像可能为（    ）

A． B．

C． D．

5．若，则（   ）

A． B． C． D．

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数且)在上单调递减,则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．函数的图像为M，直线，分别与M相交于（从左到右），曲线段在x轴上投影的长度为a，b，当m变化时的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

二、多选题

9．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．下面选项中正确的有（    ）

A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”

B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”

C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件

D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

11．的值可能为（    ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域是；

B．函数（其中，且）的图象过定点；

C．当时，幂函数的图象是一条直线；

D．若，则的取值范围是.

三、填空题

13．已知，则________.

14．若不等式对一切成立，则的取值范围是 _    _ .

15．若且满足，则的最小值是_________．

16．已知是方程的一个根，是的一个根，则__________．

四、解答题

17．已知，且α是第___象限角．

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

(1)求cosα，tanα的值；

(2)化简求值：．

18．（1）计算：；

（2）化简：．

19．已知函数定义域为A，集.

（1）求集合A，B；

（2）若是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.

(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;

(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.

21．已知函数．

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)用定义证明函数在 上为减函数；

(3)已知，且，求的值．

22．已知函数，.

(1)求的值；

(2)若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围；

(3)对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.

【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.

故选B．

【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.

2．B

【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.

【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则，

扇形的面积.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．D

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.

【详解】， ，

，则.

故选：D.

【点睛】比较大小的方法有：

（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.

4．B

【分析】由题意，得函数f（x）为偶函数，利用排除法可得答案．

【详解】∵函数满足f（-x）=f（x），

∴f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，可排除ACD，

故选：B．

5．C

【分析】根据对数的运算法则求出，结合对数的换底公式即可得出结果.

【详解】由题意知，，

所以，

所以.

故选：C

6．A

【分析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求.

【详解】，则，

而，又，

∴，则.

故选：A

7．B

【分析】直接根据复合函数的单调性结合函数的定义域得到答案.

【详解】，故函数在上单调递减；

函数且)在上单调递减,

故在上单调递增，故，考虑定义域：，解得.

综上所述：.

故选：B.

8．A

【解析】由，的图象，分析知，，可得，应用基本不等式求最小值即可.

【详解】由题意，可得如下示意图：

即在且的分支上，令，；

在且的分支上，令，；

∴，，，

即当且仅当时等号成立.

故选：A

【点睛】本题考查了对数函数，应用数形结合、基本不等式求目标式的最值，并考察了指对数的运算，属于中档题.

9．ABD

【分析】根据，并结合为锐角求解即可.

【详解】解：因为，所以，即

所以，

因为为锐角，所以，

所以，

所以，

所以

故选：ABD

10．ACD

【分析】选项A，求出原命题的否命题后再进行判断；选项B，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项C，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项D，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.

【详解】对于A：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A正确；

对于B：命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，故B错误；

对于C：当“α=kπ+β，k∈Z”时，“tanα=tanβ”成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=kπ，k∈Z”，即为“α=kπ+β，k∈Z”.故“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C正确；

对于D：设a，b∈R，则“a≠0，b=0”时，则“ab=0”，反过来，a，b∈R，若“ab≠0”时，则能推出“a≠0”且“b≠0”，故设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．

故选：ACD．

11．BD

【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答.

【详解】令，

当x为第一象限角时，，则，

当x为第二象限角时，，则，

当x为第三象限角时，，则，

当x为第四象限角时，，则.

故选：BD

12．ABD

【解析】根据指数函数、对数函数的图象与性质，复合函数的定义域判断各选项．

【详解】A．函数的定义域为，即，则，∴函数中的取值范围，即定义域为，即定义域是，A正确；

B．令，则，∴图象过定点．B正确；

C．中，它的图象是直线上去掉点，不是直线，C错；

D．时，，不合题意，时，，，∴．D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查函数的定义域，掌握指数函数与对数函数的图象与性质是解题关键．

13．

【分析】本题可根据诱导公式得出结果.

【详解】，

故答案为：

14．

【详解】当，时不等式即为 ，对一切恒成立 ①

当时，则须 ，∴②

由①②得实数的取值范围是，

故答案为.

15．##

【分析】由变形为；化应用基本不等式可求最小值．

【详解】因为满足

所以，则

所以

当且仅当，即时取“”，解得,

所以的最小值为；

故答案为：．

16．6

【分析】将已知得方程变形得令画出图象，根据函数的对称性求解即可．

【详解】将已知得方程变形得，

令

画出它们的图象，如图所示：

设与的交点为与的交点为，

根据函数的性质可知两点关于对称，

则

将点坐标代入直线方程得，

故答案为:6.

17．(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）由已知可得α为第三象限或第四象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可求解．

（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可计算得解．

【详解】（1）解：因为，所以α为第三象限或第四象限角；

若选③，；

若选④，.

（2）解：原式．

18．（1）；（2）1.

【分析】（1）由幂运算及对数运算性质化简，，log23×log34=log24=2，整理即可；

（2）由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可．

【详解】（1）

；

（2）

．

19．（1），；（2）.

【解析】（1）利用对数函数的定义域和一元二次不等式的解法化简求解集合即可.

（2）根据是成立的充分不必要条件，得集合B是A的真子集，求解得实数m的取值范围.

【详解】解：（1）由题意知：，解得或.

∴集合.

对于集合B满足：.

又，∴.

（2）若是的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，

由（1）知，只需满足或即可，解得或.

综述，满足题意的m的取值范围是．

【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，相关结论为：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

20．(1)

(2)100千台，最大年利润为5 900万元.

【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可

（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.

【详解】（1）解：10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，

当时，，

当时，

，

综上所述.

（2）当时，

当时， 取得最大值；

当时，

，

当且仅当时，

因为，

故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.

21．(1)奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)或

【分析】(1）根据函数奇偶性的定义进行证明．

（2）利用函数单调性的定义进行证明．

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

【详解】（1）根据题意, 函数是奇函数,

证明：函数, 其定义域为,

有, 则函数 为奇函数;

（2）（2）证明：设 ,

则,

又由 , 则,

同时: , 则有,

故,

故函数 在上为减函数；

（3）在上为奇函数且在上为减函数,

则有 在 也是减函数,

若, 则,

若,必有,解可得 或;

故或.

22．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意得的值，代入求解即可；

（2）根据题意得，所以，

根据零点位置和区间端点位置判断即可求解；

（3）根据题意得，

化简得，构造求解即可.

【详解】（1）因为，所以

（2）由，得，即，

即，因式分解得，

解得或，

因为方程在区间上有唯一的实数解，

注意到，

所以或解得，或.

所以的取值范围是.

（3）由，

所以，

整理得 ①

因为①式对任意恒成立，

所以恒成立，

所以，

整理得，即  ②

记，

因为②式在上恒成立，所以恒成立，

令，因为，

当且仅当时，等号成立，所以

则，

当且仅当时，等号成立，所以.

所以，即，所以实数的取值范围是.