顺义区2022届高三第二次统练数学试卷

顺义区2022届高三第二次统练

数学试卷

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）函数的定义域为

（2）如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数

（3）在的展开式中,常数项为

（4）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为

（5）设等比数列的前项和为，公比为.若， 则

（6）为了了解居民用电情况,通过抽样,获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是

（7）在中，，则“”是“”的

（8）已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为

（9）已知向量，,在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是

（10）如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：

①平面；

②三棱锥体积为定值；

③平面；

④平面平面；

其中，所有正确结论的序号是

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5道小题，每题5分。共25分，把答案填在答题卡上。

（11）已知集合，，则 ____________.

（12）已知函数，若，则_____________.

（13）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直抛物线准线于点.若为等边三角形，则点的横坐标为___________，的面积是________________.

（14）已知是定义在上的函数，其值域为，则可以是________.（写出一个满足条件的函数表达式即可）

（15）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：

①集合是“凸集”；

② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；

③若都是“凸集”，则也是“凸集”；

④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．

其中，所有正确的命题的序号是_____________________．

三、解答题共6道题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（16）（本小题14分）已知函数.

（I）求在区间上的最大值和最小值； 

（II）设，求的最小正周期.

（17）（本小题14分）如图，在正方体中，为的中点.

（I）过点作出一条与平面平行的直线，并说明理由；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题14分）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：

（I）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；

（II）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；

（III）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．

（19）（本小题14分）已知椭圆过定点，离心率.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.

（20）（本小题15分）若函数.

（I）判断方程解的个数，并说明理由；

（II）当，设，求的单调区间；

（21）（本小题14分）设正整数数列满足．

（I）若，请写出所有可能的取值；

（II）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；

（III）若为周期数列，求所有可能的取值.

2022届高三第二次统练

数学参考答案及评卷标准

一、选择题

ADBAC，CBDCC

二、填空题

11、        （写成区间也行）12、4   13、3，（对一空3分）

14、    （其它答案正确同样给分）

15、①②④（有错不得分，只有一个正确答案得2分，2个正确答案得3分）

三、解答题

16、（本小题满分14分）

解：（I）因为，所以，         …………………2分

所以                          …………………4分

所以此时                          …………………5分

，此时                           …………………6分

（II）= …………………8分

==   …………………10分

==

                                 …………………12分

所以，最小正周期                     …………………14分

17、（本小题满分14分）

解：（I）法一：连结，，设与交点为，连结…………………2分

因为为正方体，所以为中点

又因为为的中点，所以为的中位线

所以                                          …………………4分

又因为，

所以                                   …………………6分

法二：取的中点，连结                        …………………2分

因为为正方体，为的中点，为的中点

所以                                          …………………4分

又因为，

所以                                    …………………6分

法三：取的中点，连结                         …………………2分

因为为正方体，为的中点，为的中点

所以                                          …………………4分

又因为，

所以                                    …………………6分

（其它解法酌情给分）

（II）设正方体边长为1，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则有，，，

所以，，          …………………9分

设为平面的一个法向量，则，

所以有，令，可得             …………………11分

所以，所以=       …………………12分

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成的角的正弦值为                …………………14分

（其它解法酌情给分）

18、（本小题14分）

解：（I）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人，其中身体素质检测成绩优秀的人数有人，所以，优秀的概率是    …………………3分

因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是                                 …………………4分

（II）因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人，所以从中抽出2人，的可能取值为         …………………6分

表示抽出的2人中优秀的人数为0个，，

表示抽出的2人中优秀的人数为1个，，

表示抽出的2人中优秀的人数为2个，， ………………9分

所以的分布列为

数学期望                        …………………11分

（III）                                    …………………14分

19、（本小题14分）

解：（I）依题意可得                                …………………1分

所以可解得，，                               …………………3分

所以椭圆的标准方程为                             …………………4分

（II）设直线的方程为，

联立方程组，消去得，化简得

所以，即  …………………8分

所以==

又原点到直线的距离                    …………………10分

所以=

当且仅当即时取等号                          …………………12分

所以，面积的最大值为，此时直线的方程为  …………………14分

（其它解法酌情给分）

20、（本小题15分）

解：（I）方程仅有一个                                  …………………1分

因为，所以    …………………2分

所以                                             …………………4分

令可解得                                        …………………5分

所以单调性如下表

又，即的极大值为，所以方程仅有一个    …………………7分

（II）因为，所以      …………………9分

令可得或

分类讨论如下：（i）当时，

所以的单调性如下

所以的单增区间为，，单减区间为…………………11分

（ii）当时，，此时恒成立

所以的单增区间为，无单减区间                          …………………13分

（iii）当，

所以的单调性如下

所以的单增区间为，，单减区间为…………………15分

（其它解法酌情给分）

21、（本小题14分）

解：（I），，；                                           …………………3分

（II）如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数；

（方法一）

如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，

以此类推，都是3的倍数；                          …………………5分

另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；                 …………………8分

综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；

(方法二)利用数学归纳法证明：

①当时，满足；                                           …………………5分                   

②假设当时，结论成立，即，其中，

则当是奇数时，仍然是的倍数；当是偶数时，仍然是的倍数；

且若时，或，也都是的倍数；  

由数学归纳法原理，结论成立;                                    …………………8分                                                   

（III）证明：

首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；

当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；                  

所以是奇数；不妨设，则是偶数，，                

假设，则，与是最小值矛盾；

综上，只能是小于的正奇数，即或；                                   

当数列中出现1时，后面的项为4,2,1,4,2,1,4,2,1…循环；

当数列中出现3时，后面的项为6，3,6,3…循环；

所以数列为周期数列时，只能为1,2,3,4,6中某一个数；

经检验，当时，数列确实是周期数列；      ……………………………14分

（其它解法酌情给分）