2022年4月杭州市高三年级教学质量检测数学试题

2022年4月杭州市高三年级教学质量检测数学试题

选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合, 则     )
A.      B.      C.      D.

2. 若复数 ( 为虚数单位), 则     )
A.      B.      C. 1     D.

3. 设为两个不同的平面, 则“ "的充要条件是     )
A. 内有无数条直线与平行
B. 垂直于同一平面
C. 平行于同一条直线
D. 内的任何直线都与平行

4. 某几何体的三视图(单位: )如图所示, 其中弧为四分之一圆弧, 则该几何体的体积(单位: )是     )
A.         B.        C.        D.

5. 设等差数列的前项和为, 若, 则     )
A. 12       B. 15      C. 18       D. 21

6. 函数 的图象可能是     )
 

7. 已知函数, 若, 则     )
A.             B.  

C.          D.

8. 已知, 若, 则     )
A.     B.     C.     D.

9. 设椭圆的左、右焦点分别为, 过原点的直线与椭圆相交于两点(点在第一象限). 若, 则椭圆的离心率的最大值为     )
A.          B.        C.       D.

10. 在中, 已知, 点在线段上(不与端点重合), 将 沿直线翻折, 使线段上存在一点, 满足平面. 若恒成立, 则实数的最大值为     )
A. 1      B.       C. 2       D.

非选择题部分 (共 110 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分.
11. 双曲线的离心率为________, 渐近线方程为________.
12. 若实数满足 则有最________填 (“大” 或 “小”) 值为________.
13. 已知, 则________, ________.
14. 已知某小组7人中有4人未接种疫苗, 3人接种了疫苗. 从这7人中随机抽取3人, 用 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数, 则随机变量的数学期望为________; 记“抽取的3人中, 既有接种疫苗的人, 也有末接种疫苗的人” 为事件, 则________.
15. 在平面直角坐标系中, 已知第一象限内的点在直线上, , 以为直径的圆与直线的另一个交点为. 若, 则圆的半径等于________.
16. 在Rt中, , 点在边上, . 若, 则 ________.
17. 对于二元函数 表示先关于求最大值, 再关于求最小值. 已知平面内非零向量, 满足: 记 且, 则________.
三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. (本题满分 14 分) 已知函数.
(I) 求函数的单调递增区间;
(II) 求使成立的实数的取值集合.

19. (本题满分 15 分) 在四棱锥中, 为正三角形, 四边形为等腰梯形, 为棱的中点, 且.

(I) 求证: 平面;
(II) 求直线与平面所成角的正弦值.

(本题满分15分) 已知数列满足.
(1) 若 且,
(i) 当成等差数列时, 求的值;
(ii) 当 且 时, 求及的通项公式.
(II) 若. 设是的前项之和，求 的最大值.

(本题滿分15分) 如图, 设抛物线的焦点为, 圆 与轴的正半轴的交点为为等边三角形.

(I) 求抛物线的方程;
(II) 设抛物线上的点处的切线与圆交于, 两点, 问在圆上是否存在点, 使得直线均为抛物线的切线, 若存在, 求点坐标; 若不存在, 请说明理由.

(本题满分15分) 已知函数 在时取到极大值.
(I) 求实数的值;
(II)记. 设函数, 若函数在 上为增函数, 求实数的取值范围.