2022-2023学年河南省郑州五十七中九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年河南省郑州五十七中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列关于的方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在阳光下，一块正方形木板的投影不会是(    )

A. 点 B. 正方形 C. 菱形 D. 线段

3.    下列图形，一定相似的是(    )

A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形

4.    若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列说法正确的是(    )

A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形

6.    如图，，，，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    经过两次降价，我省新冠病毒核酸检测标本单采项目价格由元人次下调至元人次，若设核酸检测标本单采项目价格平均每次降价的百分率为，则根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点为原点，，，交轴于点，连接，交于点，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形中，，分别为，上一点，且，连接，，交于点，，分别为，的中点，连接，，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若，则______．
12. 一个不透明的袋子中装有个白球、个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在，则可判断袋子中黑球的个数为______．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以为位似中心的位似图形，位似比为：，点，，在轴上，若，则点的坐标为______．

15. 如图，矩形中，点，为边，的中点，点，分别为射线，上一个动点，且，分别以，为对称轴折叠，，得到，，点，的对应点分别为，，连接，若，，当四边形为菱形时，线段的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图四个开关按键都处于打开状态．
    若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______；
    求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．用列表或树状图法

18. 本小题分
    图是由个相同的小正方体组成的几何体．
    请在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
    已知每个小正方体的棱长为，则该几何体的表面积为______．
     
19. 本小题分
    如图，中，，，．
    在上求作一点，使∽尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    在的条件下，求的周长．

20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长．
    求证：不论实数取何值，方程总有实数根；
    当矩形的对角线长为时，求的值；
    当为何值时，矩形为正方形？
21. 本小题分
    如图，，点，分别为，上任意一点，连接，，的平分线交于点，，的平分线交于点．
    
    求证：四边形为矩形；
    如图，在的条件下，过点作分别交，于点，，过点作分别交，于点，，求证：四边形为菱形．
22. 本小题分
    如图，中，，，，动点从点开始以每秒个单位长度的速度匀速沿运动，回到点时停止运动，动点同时从点开始以每秒个单位长度的速度匀速沿运动，到达点时停止运动，点为的中点，连接，，设运动时间为秒．
    当点沿运动时，
    ______，______用含的式子表示；
    当时，求的值；
    当与相似时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该选项可能等于，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、该选项有一个未知数且最高次数为，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
C、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；
D、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能是点．
故选：．
平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
本题考查平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．
 

3.【答案】 

【解析】解：两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；
B.两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；
C.两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B.矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C.正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；
D.平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：．
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图为．
故选：．
由已知条件可知，左视图有列，每列小正方形数目分别为，，据此可作出判断．
本题考查了几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．
 

8.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格元，
第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元，
故可列方程为．
故选：．
先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率，把相应数值代入即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：掌握若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：菱形的顶点为原点，，
，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
直线解析式为，直线的解析式为，
联立方程组：，
解得：，
点的坐标为
故选：．
根据菱形的性质证明和都是等边三角形，求出直线解析式为，直线的解析式为，联立方程组即可求出点的坐标．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
即，
，分别为，的中点，
，，
在中，，，
，
，
在中，，
，，
∽，
，
即，
，
故选：．
根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出，，再根据勾股定理求出，进而求出，再求出，由相似三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
则，，
所以，
故答案为：．
设，根据比例的性质得出，，再把，代入求出即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设黑球个数有个，
摸到白色球的频率稳定在左右，

解得：，
故黑球的个数为．
故答案为：．
由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
本题考查概率，正确理解概率的含义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形和正方形是以为位似中心的位似图形，位似比为：，
，，
∽，
，即，
解得：，，
点的坐标为，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当，在点，在边，上时，连接，交于点，延长交于，延长交于点，如图：

四边形是菱形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，四边形是矩形，
，
为的中点，
，
由折叠的性质可知，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
当，在点，在边，的延长线上时，连接，交于点，延长交于，延长交于点，如图：

同理可得，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
综上所述，线段的长为或．
分两种情况，当，在点，在边，上时，连接，交于点，延长交于，延长交于点，根据勾股定理列方程可求出的长，当，在点，在边，的延长线上时，连接，交于点，延长交于，延长交于点，同理可求出的长．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能灵活运用勾股定理列方程解决问题及分类讨论思想的应用．
 

16.【答案】解：，
，
则或，
解得：，；

，


，
则此方程有两个不相等的实数根，
，
故，． 

【解析】直接利用提取公因式法分解因式，再利用因式分解法解方程即可；
求出的值，利用公式法解方程即可．
此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为．
故答案为：；

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为，
所以小灯泡发光的概率为．
利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示：

这个组合几何体的表面积为，
故答案为：．
根据三视图的定义画出图形即可．
根据表面积的定义求解即可．
本题考查作图三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：如图，点即为所求；

，，，
，
的周长，
∽，
．
的周长． 

【解析】过点作于点，点即为所求；
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查作图相似变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：，
因为不论为何值，，
所以，
所以无论取什么实数值，该方程总有实数根；
解：设矩形的两边长分别为，，
、是关于的一元二次方程的两根，
，，
，
，
．
，
，
解得：，，
，
的值为．
解：由题意，得
，
解得：． 

【解析】先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可；
设矩形的两边长分别为，，根据根与系数的关系，，再根据勾股定理建立方程就可以求出结论；
当时，由根的判别式就可以求出结论．
本题是一道一元二次方程的综合试题，考查了根的判别式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时灵活运用根的判别式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，，
，
，，
，
，
同理，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．
如图，连接，
，，
，
，
四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
，，，
，，
，，
，
同理，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】由，得，而，，则，所以，同理可证明，则四边形是平行四边形，再证明，则四边形是矩形；
连接，由矩形的性质得，可证明四边形、四边形、四边形都是平行四边形，则，再证明四边形是平行四边形，则，所以，则四边形是菱形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质等知识，证明四边形、四边形、四边形都是平行四边形是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，，
，
，
，
故答案为：，；
如图，

，
，
，
，
当时，；
，
∽或∽，
或，
当时，
或，
或，
当时，
或，
舍去或，
综上所述：或或．
根据得出结果；
可根据列出方程求得结果；
分为和两种情形：因为，所以∽或∽，从而或，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，正确分类．