2022-2023学年山东省日照市高二上学期期中校际联考数学试题含解析

 2022-2023学年山东省日照市高二上学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出复数，再由共轭复数及虚部的定义即可求解.

【详解】由题意知，，

所以z的共轭复数.

所以z的共轭复数的虚部为.

故选：A.

2．两圆和的位置关系是

A．内切 B．外离 C．外切 D．相交

【答案】D

【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.

【详解】由题意可得两圆方程为：和

则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和

则圆心距：

则    两圆相交

本题正确选项：

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.

3．已知，若三向量共面，则实数等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据向量共面列方程求解即可.

【详解】因为、、三向量共线，所以，即，整理得，解得.

故选：A.

4．如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解.

【详解】由题意，.

故选：A.

5．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所求的直线方程.

【详解】因为直线和直线都过点，

可得且，

即点和点适合直线，

所以过点和点的直线方程是.

故选：A.

6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解

【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，

所以，

利用点斜式方程可得到直线：，整理为，

所以原点O到直线距离为，

故选:B

7．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.

【详解】如图，

作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．

则,,

设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，

由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．

故选：C

【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得原式等于，令则方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，则表示该半圆上的点到直线的距离，同理可得表示该半圆上的点到直线的距离，设半圆上点，，利用点到直线的距离公式得到，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】解：，

令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，

依题意表示该半圆上的点到直线的距离，

表示该半圆上的点到直线的距离，

则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为，设半圆上点，，则到与的距离之和因为，所以，所以，所以，

所以

所以的最小值为，

故选：B

二、多选题

9．复数，（为虚数单位），则正确的是（    ）

A．，互为共轭复数 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据共轭复数的定义，复数的模长的定义，逐个选项进行计算，即可判断答案.

【详解】依据共轭复数的定义，故A选项正确；

共轭复数，故B选项命题正确；

；C选项命题正确；

，，故D选项错误.

故选：ABC

10．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为

【答案】BD

【分析】根据条件求得短半轴长、长半轴长，从而求得半焦距，进而可求得结果.

【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，

∵截面与底面所成的角为，

∴椭圆的长轴长为，则，

所以，

离心率为，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为.

故选：BD.

11．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由空间向量模的概念，数量积运算对选项逐一判断

【详解】由题意得是四面体外接球的球心，

设是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是的外接圆半径，

则，，，

解得，，

对于A， ，故A错误；

对于B，∵，∴，

∴，∴，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确，

故选：BD

12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（    ）

A．存在点，使得平面

B．存在点，使得直线与直线所成的角为

C．存在点，使得三棱锥的体积为

D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角

【答案】ACD

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），

则、、、、、、

、，设，即点，其中.

对于A：假设存在点，使得平面，

因为，，，

则，解得，

故当点为线段的中点时，平面，

即选项A正确；

对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，

，，

因为，即，

所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，

即选项B错误；

对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，

，且点到平面的距离为，

则，解得，

所以当点为线段的靠近的四等分点时，

三棱锥的体积为，即选项C正确；

对于D：，，

设平面的法向量为，

则，

取，可得，

易知平面的一个法向量为，

则，

，，

，

因为，，

则，

因为、，且余弦函数在上单调递减，

则，即不存在点，使得，即选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

三、填空题

13．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数______.

【答案】

【分析】先由复数的几何意义与关于轴对称得到，再利用复数的乘法运算法则求解即可.

【详解】因为，复数，在复平面内对应的点关于轴对称，所以，

因此.

故答案为：.

14．已知圆，为圆上位于第一象限的一点，过点作圆的切线.当在两坐标轴上的截距相等时，的方程为______.

【答案】

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点，表示出切线方程，结合横纵截距相等，即得解．

【详解】解：由题意，点在第一象限，故过点的的切线斜率存在，

点在圆上，故，即，

，，

故直线的方程为：，

则，

令，；，，

当的横纵截距相等时，，即，

又，，，解得：，，

即，即．

故答案为：．

15．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，是上底面的线段的上一点．若的最小值为，则该正四棱台的高为______．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可.

【详解】正四棱台以为原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面为轴建立如图空间直角坐标系：

设正四棱台的高为，则，其中，

所以，

所以，

令，显然是开口向上的一元二次函数，当时取得最小值，

所以解得.

故答案为：.

16．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.

【答案】

【分析】首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.

【详解】

∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即

又∵，

∴四边形为矩形

∴

则

在中，

∵，∴

∵   ∴

∵A在第一象限，∴

∴

∴

令，则有

，即

故答案为：

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

四、解答题

17．已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.

(1)求复数；

(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设（，），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；

（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.

【详解】（1）根据题意，设复数（，），

则为实数，即，解得，

所以，.

又∵，∴，得，

所以复数.

（2）由（1）知，对应的点在第四象限，

所以解得：，即.

所以实数的取值范围是.

18．已知直线和直线的交点为.

(1)求过点且与直线平行的直线方程；

(2)若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）联立直线方程求得交点，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；

（2）设垂直直线为，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.

【详解】（1）联立，解得，交点，

设与直线平行的直线方程为

把代入可得，可得，

∴所求的直线方程为：.

（2）设与直线垂直的直线方程为，

∵到的距离为，解得或，

∴直线的方程为：或

19．如图，在直角中，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且.

(1)求点到平面的距离；

(2)设直线与平面所成的角为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，分别计算三棱锥与三棱锥的体积，设出点到平面的距离，由构造方程解得答案；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，分别找到直线的方向向量，求出平面的法向量，代入直线与平面所成的角计算公式，计算得答案.

【详解】（1）证明：由题意知：，

平面，平面，平面，

又，所以，

所以，

设点到平面的距离为，由

得，解得；

（2）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

由题意知，则，

所以.

设平面的法向量为，则，取，则，

可得平面的一个法向量为，

所以.

20．已知直线与圆交于、两点，且

(1)求的值；

(2)当时，求过点的圆的切线方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值；

（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，直接验证即可；当切线的斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出参数值，综合可得出所求切线的方程.

【详解】（1）解：圆的方程可化为，所以，，可得，

圆心为，半径为，

，所以，圆心到直线的距离为，

又因为圆心到直线的距离为，所以，，

解得或.

（2）解：由题意，，，则圆的方程为，

,故点在圆外.

①当切线的斜率存在时，设切线方程为，即.

由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，

此时，所求切线的方程为，即.

②当切线的斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意.

综上，所求切线的方程为或.

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理求得后，结合勾股定理可证得，利用面面垂直性质可证得平面，从而得到，利用线面垂直的判定可证得结论；

（2）作于点，作，交于，由面面垂直的性质可得到平面，可确定直线与平面所成的角为，由此可确定为中点，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：，

，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，，

，，平面，平面；

（2）作于点，

平面平面，平面平面，平面，

平面，即为直线与平面所成的角，，

又，为等腰直角三角形，为中点，

过作，交于，则为中点，

，则两两互相垂直，

则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，

平面，是平面的一个法向量；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

，

由图形可知，二面角为锐二面角，

二面角的余弦值为.

22．如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值；

(3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题中条件求出、的值，可得出椭圆的方程；

（2）设直线的斜率为，推导出直线的斜率为，求出点、的纵坐标，利用基本不等式可求得的最小值；

（3）设、、，求出点、的横坐标，计算出的值，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：由题意知、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形的面积为，

又因为，则，，因此，椭圆的方程为.

（2）解：直线，由已知、，

设直线的斜率为，则的方程为，

联立，解得，得，

设点，其中，则，

则，所以，，

所以直线的方程为，所以，

，当且仅当时等号成立.

此时线段长度的最小值是.

（3）解：设、、，

则直线的方程为，

令，得，同理，故，

又点与点在椭圆上，故，，

得，

所以为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．