2022-2023学年山东省日照市高二上学期期中校际联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年山东省日照市高二上学期期中校际联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年山东省日照市高二上学期期中校际联考数学试题 一、单选题1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出复数，再由共轭复数及虚部的定义即可求解.【详解】由题意知，，所以z的共轭复数.所以z的共轭复数的虚部为.故选：A.2．两圆和的位置关系是A．内切 B．外离 C．外切 D．相交【答案】D【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.【详解】由题意可得两圆方程为：和则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和则圆心距：则    两圆相交本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.3．已知，若三向量共面，则实数等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据向量共面列方程求解即可.【详解】因为、、三向量共线，所以，即，整理得，解得.故选：A.4．如图，在三棱锥中，，，，点在OA上，且，为BC中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解.【详解】由题意，.故选：A.5．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所求的直线方程.【详解】因为直线和直线都过点，可得且，即点和点适合直线，所以过点和点的直线方程是.故选：A.6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，所以，利用点斜式方程可得到直线：，整理为，所以原点O到直线距离为，故选:B7．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．故选：C【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意可得原式等于，令则方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，则表示该半圆上的点到直线的距离，同理可得表示该半圆上的点到直线的距离，设半圆上点，，利用点到直线的距离公式得到，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：，令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，依题意表示该半圆上的点到直线的距离，表示该半圆上的点到直线的距离，则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为，设半圆上点，，则到与的距离之和因为，所以，所以，所以，所以所以的最小值为，故选：B 二、多选题9．复数，（为虚数单位），则正确的是（    ）A．，互为共轭复数 B． C． D．【答案】ABC【分析】根据共轭复数的定义，复数的模长的定义，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】依据共轭复数的定义，故A选项正确；共轭复数，故B选项命题正确；；C选项命题正确；，，故D选项错误.故选：ABC10．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为【答案】BD【分析】根据条件求得短半轴长、长半轴长，从而求得半焦距，进而可求得结果.【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则，所以，离心率为，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，则椭圆的方程为.故选：BD.11．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由空间向量模的概念，数量积运算对选项逐一判断【详解】由题意得是四面体外接球的球心，设是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是的外接圆半径，则，，，解得，，对于A， ，故A错误；对于B，∵，∴，∴，∴，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确，故选：BD12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（    ）A．存在点，使得平面B．存在点，使得直线与直线所成的角为C．存在点，使得三棱锥的体积为D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角【答案】ACD【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），则、、、、、、、，设，即点，其中.对于A：假设存在点，使得平面，因为，，，则，解得，故当点为线段的中点时，平面，即选项A正确；对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，，，因为，即，所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，即选项B错误；对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，，且点到平面的距离为，则，解得，所以当点为线段的靠近的四等分点时，三棱锥的体积为，即选项C正确；对于D：，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，，，，因为，，则，因为、，且余弦函数在上单调递减，则，即不存在点，使得，即选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题13．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数______.【答案】【分析】先由复数的几何意义与关于轴对称得到，再利用复数的乘法运算法则求解即可.【详解】因为，复数，在复平面内对应的点关于轴对称，所以，因此.故答案为：.14．已知圆，为圆上位于第一象限的一点，过点作圆的切线.当在两坐标轴上的截距相等时，的方程为______.【答案】【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点，表示出切线方程，结合横纵截距相等，即得解．【详解】解：由题意，点在第一象限，故过点的的切线斜率存在，点在圆上，故，即，，，故直线的方程为：，则，令，；，，当的横纵截距相等时，，即，又，，，解得：，，即，即．故答案为：．15．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，是上底面的线段的上一点．若的最小值为，则该正四棱台的高为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】正四棱台以为原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面为轴建立如图空间直角坐标系：设正四棱台的高为，则，其中，所以，所以，令，显然是开口向上的一元二次函数，当时取得最小值，所以解得.故答案为：.16．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.【详解】∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即又∵，∴四边形为矩形∴则在中，∵，∴∵   ∴∵A在第一象限，∴∴∴令，则有，即故答案为：【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 四、解答题17．已知是复数，（为虚数单位）为实数，且.(1)求复数；(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设（，），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【详解】（1）根据题意，设复数（，），则为实数，即，解得，所以，.又∵，∴，得，所以复数.（2）由（1）知，对应的点在第四象限，所以解得：，即.所以实数的取值范围是.18．已知直线和直线的交点为.(1)求过点且与直线平行的直线方程；(2)若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）联立直线方程求得交点，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；（2）设垂直直线为，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.【详解】（1）联立，解得，交点，设与直线平行的直线方程为把代入可得，可得，∴所求的直线方程为：.（2）设与直线垂直的直线方程为，∵到的距离为，解得或，∴直线的方程为：或19．如图，在直角中，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且.(1)求点到平面的距离；(2)设直线与平面所成的角为，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，分别计算三棱锥与三棱锥的体积，设出点到平面的距离，由构造方程解得答案；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，分别找到直线的方向向量，求出平面的法向量，代入直线与平面所成的角计算公式，计算得答案.【详解】（1）证明：由题意知：，平面，平面，平面，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由得，解得；（2）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意知，则，所以.设平面的法向量为，则，取，则，可得平面的一个法向量为，所以.20．已知直线与圆交于、两点，且(1)求的值；(2)当时，求过点的圆的切线方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，直接验证即可；当切线的斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出参数值，综合可得出所求切线的方程.【详解】（1）解：圆的方程可化为，所以，，可得，圆心为，半径为，，所以，圆心到直线的距离为，又因为圆心到直线的距离为，所以，，解得或.（2）解：由题意，，，则圆的方程为，,故点在圆外.①当切线的斜率存在时，设切线方程为，即.由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，此时，所求切线的方程为，即.②当切线的斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意.综上，所求切线的方程为或.21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用余弦定理求得后，结合勾股定理可证得，利用面面垂直性质可证得平面，从而得到，利用线面垂直的判定可证得结论；（2）作于点，作，交于，由面面垂直的性质可得到平面，可确定直线与平面所成的角为，由此可确定为中点，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，平面，平面；（2）作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，即为直线与平面所成的角，，又，为等腰直角三角形，为中点，过作，交于，则为中点，，则两两互相垂直，则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，平面，是平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，由图形可知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.22．如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.(1)求椭圆的方程；(2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值；(3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据题中条件求出、的值，可得出椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，推导出直线的斜率为，求出点、的纵坐标，利用基本不等式可求得的最小值；（3）设、、，求出点、的横坐标，计算出的值，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由题意知、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形的面积为，又因为，则，，因此，椭圆的方程为.（2）解：直线，由已知、，设直线的斜率为，则的方程为，联立，解得，得，设点，其中，则，则，所以，，所以直线的方程为，所以，，当且仅当时等号成立.此时线段长度的最小值是.（3）解：设、、，则直线的方程为，令，得，同理，故，又点与点在椭圆上，故，，得，所以为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．