专题2.12 等腰三角形的对称性（知识讲解2）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题2.12 等腰三角形的对称性（知识讲解2）
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型十一、等角对等边求边长
11．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．

证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2．
∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠B=∠C．∴AB=AC．
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证
举一反三：
【变式1】 如图，已知：在中，点D、E在BC上，且，求的周长.

【答案】10cm.
【分析】由等角对等边可得AD=BD，AE=EC，继而根据三角形周长公式利用等量代换即可求得答案.
解：∵∠1=∠B，∠2=∠C，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE，
∴△ADE的周长=BD+DE+CE=BC=10cm.
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【变式2】 如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，，求．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据中点的定义可得AE=CE，最后利用AAS即可证出；
（2）根据等角对等边即可求出AB=AC=10，然后根据（1）中全等可得AD=CF=7，即可求出．
（1）证明：∵
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
∵是边的中点
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中

∴
（2）解：∵，，，
∴AB=AC=CE＋AE=2CE=10
∵
∴AD=CF=7
∴DB=AB－AD=3
【点拨】此题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等角对等边是解决此题的关键．
【变式3】 如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，求的长.

【答案】的长为5.
【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴BD-CE=FD-EF=DE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5，
∴EC=5．
【点拨】考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
类型十二、图形上一点与两点构成等腰三角形
12．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于.

（1）当时，= ，= ；点从向运动时，逐渐 （填“增大”或“减小”）；
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以，请说明理由.
【答案】（1）40°，100°；减小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；理由见解析；（3）当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）利用平角的定义可求得∠EDC的度数，再根据三角形内角定理即可求得∠DEC的度数，利用三角形外角的性质可判断∠BDA的变化情况；
（2）利用∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC，进而求出△ABD≌△DCE；
（3）根据等腰三角形的判定以及分类讨论得出即可．
解：（1）∵∠BDA=100°，∠ADE=40°，∠BDA+∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-100°-40°=40°，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°-40°=100°；
∵∠BDA=∠C+∠DAC，∠C=40°，
点D从B向C运动时，∠DAC逐渐减小，
∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐减小，
故答案为：40°，100°；减小；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE=40°，∠B=40°，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC．
∴∠BAD=∠EDC．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED>∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出△ABD≌△DCE是解题关键．
举一反三：
【变式】 已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

【分析】因为°，°，所以∠C=22．5°，而67．5°+22．5°=90°，45°+22．5°=67．5°，所以可以把∠A分成一个67．5°角和22．5°角，然后分割成一个底角是67．5°的等腰三角形和一个底角是22．5°的等腰三角形，也可以分割成一个底角是45°的等腰三角形和一个底角是22．5°的等腰三角形．
解：如图（共有2种不同的分割方法），

考点：等腰三角形的判定．
类型十三、尺规作图-等腰三角形
13．如图，在中，
（1）尺规作图：作的平分线；
（2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）
【分析】（1）利用基本作图作l1平分∠ABC；
（2）利用基本作图作l2垂直平分BC；
（3）设∠ABP的度数为x，利用角平分线的定义得∠ABP=∠CBP=x，则根据线段垂直平分线的性质得BP=CP，则∠PBC=∠PCB=x，然后根据三角形内角和得到60°+2x+x+24°=180°，再解方程求出x即可．
解：（1）如图，l1为所作；
（2） 如图，l2为所作；

（3）设∠ABP的度数为x
∵平分
∴=x
又∵垂直平分
∴
∴
∴=x
又∵
又∵，
∴
即
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
举一反三：
【变式1】 如图，已知∠MAN ，点B在射线AM上．
（1）尺规作图：
①在AN上取一点C，使BC=BA；
②作∠MBC的平分线BD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．

【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）证明见解析.
试题分析：（1）①以点B为圆心，以BA长为半径画弧与AN的交点即为点C；
②按角平分线的作图方法进行作图即可得；
（2）如图根据BA=BC，可得∠1=∠2，再根据BD平分∠MBC，可得∠3=∠4，再根据三角形的外角性质可得∠3+∠4=∠1+∠2，从而得∠3=∠1，从而得BD∥AC.
试题解析：（1）①C就是所要求作的点；
②BD即为所求作的角平分线；

（2）∵BA=BC，
∴∠1=∠2，
∵BD平分∠MBC，
∴∠3=∠4，
∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠1+∠2，
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴2∠3=2∠1，
∴∠3=∠1，
∴BD∥AC.
【点拨】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟练掌握和运用相关的性质是解题的关键.
【变式2】 画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为AD=h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．

【分析】分别以B、C为圆心，大于 BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．
解：如图所示，

【点拨】此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握作图法则.

【变式3】 已知线段和，求作:等腰，使腰，底角等于

【分析】先作∠MBN＝∠1，在BM上截取BA＝2a，然后以A点为圆心，BA为半径画弧交BN于C，则△ABC满足条件．
解：如图，△ABC为所作．

【点拨】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
类型十四、三角形边角的不等关系
14．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．
【答案】：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm
【分析】本题给出了等腰三角形的两边间的比例关系，但是没有明确这两边哪边是底，哪边是腰，因此要分两种情况讨论．
解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，
则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，
则有：①x+x+x=28，得x=8cm，
所以三边为：8cm、8cm、12cm；
②x+x+x=28，得x=7cm，
所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．
因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，本题从边的方面考查三角形，利用分情况讨论的思想方法是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长．
【答案】周长为16或17.
【分析】由于没有明确腰以及底边，所以从若底边长为5，腰长为6与若底边长为6，腰长为5，去分析求解即可求得答案．
解：①当底边为5，两腰为6时；
周长为：5+6+6＝17
②当底边为6，两腰为5时；
周长为：5+5+6＝16
故答案为16或17.
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
【变式2】 已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状.
【答案】的周长为8，为等腰三角形
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再解方程得到c可能的取值，进而利用三角形三边关系确定c的值，求出△ABC的周长和判断出其形状．
解：∵，
∴，，
∴，，
解方程，
解得或，
∴c可能为3或9，
但是时，不满足三角形三边关系定理，故舍去.
∴，，，
∵，，
∴的周长为8，为等腰三角形.
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
【变式3】 如图，在△ABC中，AB=AC．

（1）利用尺规作图作边BC的高AD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD=CD．
（3）如果三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8.5.
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求；
（2）证明三角形ABD与三角形ADC全等即可；
（3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则.
解：（1） 如图，分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求；

（2）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD与△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD=CD．
（3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则.
【点拨】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系，灵活运用等腰三角形的性质和分类讨论的思想是解题的关键.
类型十五、等腰三角形综合题
15．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.

(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．
(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．

【答案】（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立
【分析】见详解
解：（1）AE是∠FAD的角平分线；
（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，

∵E是DC的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线；
（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，

∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分线.
【点拨】本题主要考察了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键.
【变式2】 在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N.
（1）如图①，若∠BAC ＝ 110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC ＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC ＝ α（α ≠ 90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．

【答案】(1) 40°;(2) 40°.;(3)见解析.
【分析】1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；
（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)，
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C
∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC，
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(3)当α＜90°时，∠EAN＝180°－2α；
当α＞90°时，∠EAN＝2α－180°.
【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．