专题2.6 线段的对称性（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题2.6  线段的对称性（知识讲解）

 【学习目标】

1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；

2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；

3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练.

【要点梳理】

知识要点一

线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。

①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B.

证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.

又CA=CB，P1C= P1C，

∴△P1CA≌△P1CB (SAS).

∴P1A= P1B.

几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;

∴PA=PB.

知识要点二

线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？

点P在线段AB的垂直平分线上

证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.

线段垂直平分线性质的逆定理：

几何语言叙述： ∵PA=PB;

∴P点在AB的垂直平分线上.

二、【典型例题】

知识点（1）：垂直平分线的性质

1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（     ）

A．20 cm B．22 cm C．26 cm D．32cm

解：∵DE垂直平分AC，

∴，

，
故选：D．

【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，理解基本性质灵活对边长进行转化是解题关键．

【变式1】如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果△DBC的周长等于9cm，BC＝4cm，那么AC的长是（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm

解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∵△DBC的周长为9，

∴CB+CD+DB

＝CB+CD+DA

即BC+AC＝9（cm），

∵AC＝4 cm，

∴BC＝5（cm），

故选：A．

【点拨】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【变式2】．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若 ，，则的周长为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，

∴AD+BD=AD+CD=AC=7
∵AB=5，
∴的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+7=12，
故选：C．

【点拨】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

知识点（2）：垂直平分线的运用---最值问题

2．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的周长的最小值是（    ）

A．12 B．13 C．14 D．15

【分析】根据题意知点B关于直线ED的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值等于AC的长，根据AB，AC的长度即可得到△ABP周长的最小值．

解：∵ED垂直平分BC，

∴B、C关于ED对称，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB=5，AC=7，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=5+7=12．
故选：A．

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．此题步骤是：有对称点找出来，没有对称点作出来；连接对称点与另一个定点；交对称轴点P,则点P为所求。

【变式2】如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．16

解：如图，连接BP，

∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，
∴PD+PC=PD+PB，
∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，
∴PD+PC的最小值为10，
故选：B．

知识点（3）：垂直平分线的判定

3．如图，已知，，是上一点.

求证：.

【分析】连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC，再利用SSS证明△ABP与△ACP全等，进而得出．

证明：连接

点在的垂直平分线上，

同理，点也在的垂直平分线上，

∵两点确定一条直线，

直线是线段的垂直平分线，

是上一点，

又，，

.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

【变式】如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则(     )

A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上

C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上

【解析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．

解答：解：∵PB=PC，

∴P在线段BC的垂直平分线上，

故选D．

知识点（4）：垂直平分线的运用--作图题

4．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于二分之一倍的BC的长度为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=24°，则∠ACB的度数为________．

【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠B=∠BCD=24°，再根据等腰三角形的性质即可得到∠A=∠ADC=48°，依据三角形内角和定理即可得出∠ACB的度数．

解：由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠BCD=24°，
∴∠ADC=2∠B=48°，
又∵CA=CD，
∴∠A=∠ADC=48°，
∴△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=108°．
故答案为：108°．

【点拨】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．