专题05 截长补短模型-八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

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专题05 截长补短模型【模型说明】                  【例题精讲】例1．（基本模型）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．（1）探究、、之间的关系，并说明理由；（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【详解】（1）和是等腰三角形，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG在和中，BG=CF，，在和中，DE=DE，，（2）在CA上截取CG=BE,连接DG是等腰三角形，在和中，CG=BE，在和中，FD=FD，例2.（培优综合）如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且．求证：如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解【详解】证明：延长到，使，连接，如图所示：，，在和中，，，，，，在和中，，；（2）不成立，AE=CF+EF，理由如下：在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示： ，，∵AB=CB，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，∴∠EBF=∠EBH，∵EB=EB，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴CF=AH，EF=EH，∵AE=AH+HE，∴AE=CF+EF．例3．（培优综合）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在和中， ，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中， ，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中， ，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．【变式训练1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．【答案】20°【详解】解：如图，延长至点E使，连接．∴．∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴．∵，∴设，则．在与中，∵∴，∴．∵，∴，∴，∴．【变式训练2】在四边形中，是边的中点．   （1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．【课后作业】1．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．【答案】【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴ ，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案为：2．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．  （1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；是正方形，；，，，∴，又∵，，在和中，，；（2）解：成立．在上取，连接，如图，为正方形，，∵BE=BH ，，，又∵，∴，在和中，，．3．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．【答案】见解析【详解】证明：延长至点，使得，连接，四边形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF与△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）3【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的长为3．6．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．【答案】证明见解析【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 7．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD．