专题01 一线三等角模型-八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

专题01 一线三等角模型

【模型说明】

应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

【例题精讲】

例1．（基本“K”型）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．

例2.（特殊“K”型）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．

(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；

(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．

例3.（“K”型培优）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．

（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；

（3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值．

【变式训练1】如图，于点，点在直线上，．

(1)如图1，若点在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2，若点在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．

【变式训练2】在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．

①请说明的理由；

②请说明的理由；

(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．

(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，、、具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．

【变式训练3】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．

【课后作业】

1．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　）

A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米

2．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．

3．如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

4．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．

学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．

5．如图，在中，．

（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．

（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，

①求证：∠EAC＝∠BCF．

②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．

（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）

7．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝         °，∠DEC＝        °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变           ．（填“大”或“小”）

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

9．如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合），

（1）求证：△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．