2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．若，，则（    ）

A． B． C．5 D．10

【答案】A

【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可

【详解】因为

所以

故选:A

2．直线与直线2x－y+7=0平行，则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据直线平行可得方程，即可得到答案.

【详解】两直线平行，所以有,

故选：B.

3．在等比数列中，且，则（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.

【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；

所以，因为，所以.

故选：C.

4．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.

【详解】∵在基底下的坐标为

∴

设在基底下的坐标为

则

对照系数，可得：

解得：

∴在基底下的坐标为

故选：C

5．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．

【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；

当时，，此时，，若，，

所以函数的图象可能是C．

故选：C

6． 如图所示，已知双曲线：的右焦点为，双曲线的右支上一点 ，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用双曲线的性质，推出，，通过求解三角形转化求解离心率即可．

【详解】解：双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，可得，，，

，所以，可得，

，

所以双曲线的离心率为：．

故选：．

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由两圆相交可得参数范围．

【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以

解得

故选：B．

8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数，经过步变换，第一次到达1，就称为步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得.则下列命题错误的是（    ）

A．若，则只能是4 B．当时，

C．随着的增大，也增大 D．若，则的取值集合为

【答案】C

【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.

【详解】对于A，，逆推，只能是4，故A对；

对于B，时，，，故B对；

对于C，时，，时，，，故C错，

对于D，时，逆推，故D对.

故选：C.

二、多选题

9．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（    ）

A．比节能效果好

B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小

C．两学校节能效果一样好

D．与自节能以来用电量总是一样大

【答案】AB

【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.

【详解】由图象可知，对任意的，

曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，

所以比节能效果好，A正确，C错误；

由图象可知，，

则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确；

由于曲线和曲线不重合，D选项错误．

故选：AB

10．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，，P，D三点共线

B．当时，

C．当时，平面

D．当时，平面

【答案】ACD

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.

【详解】由题意，如图建系：

则，

，

设，，则，

可得，

，

对于A：当时，则点P为对角线的中点，

根据长方体性质可得三点共线，故A正确；

对于B：当时，

∴，解得，

所以，

则，

因此不正确，故B错误；

对于C：当时，，

设平面的法向量为，

，

∴，，

当时，，，故，

∴，∴，

又平面，∴平面，故C正确；

对于D：当时，可得，，

设平面的法向量为，

则，，

取，则，∴，

而，∴，∴平面，故D正确．

故选：ACD

11．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（    ）

A．焦点F到准线l的距离为2

B．焦点，准线方程

C．的最小值是3

D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切

【答案】ACD

【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解；

对B：由抛物线方程即可求解；

对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；

对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.

【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线    ，故选项B错误；

对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；

对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，

所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，

所以的最小值是3，故选项C正确；

对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，

设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，

又根据抛物线的定义有，，

所以，

所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；

故选：ACD.

12．函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（    ）

A．数列为等差数列 B．

C．为函数的极小值点 D．

【答案】BD

【分析】首先求出函数的导函数，令，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求出，利用诱导公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

令，即可得或，，

易得函数的极值点为或，，

从小到大为，，…，不是等差数列，A错误；

，B正确；

函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，所以为函数的极大值点，C错误；

，

，

则根据诱导公式得，D正确；

故选：BD．

三、填空题

13．记等差数列的前n项和为，若，，则公差__________.

【答案】

【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.

【详解】由题意等差数列的前n项和为，，，

可得，且，则，且，

解得，

故答案为：

14．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________．

【答案】

【分析】先求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程

【详解】因为直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，

所以直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

因为直线经过，

所以直线的方程为，即，

故答案为：

15．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是_______．

【答案】

【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系．

令两正方形边长均为2．则,

,,

设异面直线与所成的角为,．

【解析】异面直线所成的角．

四、双空题

16．如图，圆O与离心率为的椭圆相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是_________；此时P点坐标为_________．

【答案】     ；     

【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果.

详解：由题意知：解得，

可知：椭圆C的方程为，圆O的方程为.

设，因为,则,

因为，所以,

因为，所以当时，取得最大值为,

此时点.

点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

五、解答题

17．已知函数在处的切线方程为.

(1)求的解析式；

(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；

（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.

【详解】（1）∵函数，

∴的定义域为，，

∴在处切线的斜率为，

由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，

∴的解析式为；

（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，

所以切点到直线的距离最小，最小值为，

故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.

18．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设公差为，由，且，，构成等比数列，利用“”法和“”法求解；

（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.

【详解】（1）解：因为数列为各项均为正数的等差数列，

所以，

即得，

设公差为，则有，，

，

又因为，，构成等比数列的前三项，

所以，即，

解得或（舍去），

所以，

所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

故得，

由题意得，，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

故.

（2）设，

则①，

在上式两边同时乘以2得，

，②，

得，

，

,

所以．

19．在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C坐标分别为，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A．

(1)当E点坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；

(2)求与面积之和S的最小值．

【答案】(1)或或；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答.

（2）设点E的横坐标为t，根据给定条件求出t的范围，再将S表示为t的函数，并求出最小值作答.

【详解】（1）令过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l，

当直线l过原点时，直线l在x，y轴上的截距都为0，其方程为，

当直线l不过原点时，设直线l的方程为或，于是得或，

解得或，直线l的方程为或，

所以所求方程为：或或.

（2）依题意，直线，因点E在线段BC上，则设点，，设，

，由得：，显然，则，有，

，

，

当且仅当，即时取等号，

所以与面积之和S的最小值.

20．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面间的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，故，再由线面平行的判定定理即可得证；

（2）由平面，知点到平面的距离即为所求.设，取的中点，连接､，可证，，进而推出平面；于是以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，，写出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离即可得解.

【详解】

（1）证明：取的中点，连接､，

为的中点，，，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面.

（2）平面，点到平面的距离即为所求.

设，

取的中点，连接､，则四边形为矩形，

是以为斜边的等腰直角三角形，，，

，，､平面，

平面，

，平面，

平面，平面平面，

以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

平面，，

在中，，

，，

，

，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

点到平面的距离，

故直线与平面间的距离为.

【点睛】方法点睛：求空间中点到平面的距离，

向量方法:先在平面内选一点，确定的坐标，在确定平面的法向量，最后代入公式求解.也通常采用三棱锥等体积求解.

21．已知双曲线

(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N是线段的中点，求直线的方程；

(2)直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案；

（2）根据直线l：与双曲线有唯一的公共点M，联立方程可得到，从而求得点M坐标，由此表示出过M且与l垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可得答案.

【详解】（1）设，，则 ，

两式相减得，即，

因为点是线段的中点，所以，

即直线的斜率为1，

所以直线的方程为，即,

联立方程组,得，满足，

故直线的方程为

（2）联立方程组,得，

因为直线l：与双曲线有唯一的公共点M，

根据双曲线的对称性可知都不等于0，

，得，

则,则,

所以M的坐标为，其中，

因为过点M且与l垂直的直线方程为，

令，得，令，，

所以，

故点的轨迹方程为：.

【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.

22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.

(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；

(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.

(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，从而可得答案.

【详解】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，

设成功点，可得

即,化简得

因为点需在矩形场地内，所以

故所求轨迹方程为

（2）设，直线方程为

直线FP与点M的轨迹没有公共点,则圆心到直线的距离大于

依题意，动点需满足两个条件：

点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离

即,解得

②点的轨迹与轴的交点到直线的距离

即,解得

综上所述，P点横坐标的取值范围是