四川省南充市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

南充市2021一2022学年度上期高中一年级教学质量监测

数学试题

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算可得结果．

【详解】因为，

所以．

故选：D

2. 角的弧度数为（    ）

A. 40 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件直接化成弧度数作答.

【详解】依题意，.

故选：B

3. 若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为

故选：A

4. 半径为2且周长为6的扇形的面积是（    ）

A. 6 B. 4 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件求出扇形弧长，利用扇形面积公式计算得解.

【详解】因扇形的半径为2，且周长为6，则扇形弧长为，于是得扇形面积，

所以半径为2且周长为6的扇形的面积是2.

故选：C

5. 下列各图中，可表示函数的图象的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义判断即可.

【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，可看出只有选项B符合.

故选：B.

6. 设函数，则的值为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可.

【详解】因为函数，

所以，

所以.

故选：A

7. 下列函数为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本初等函数的奇偶性与奇偶函数的定义判断即可；

【详解】解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：为偶函数，故B错误；

对于C：定义域为，且，即为偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，且，故为奇函数，故D正确；

故选：D

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂函数及指数函数的性质判断可得；

【详解】解：因为在上单调递增，所以，即，又，即，所以；

故选：B

9. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

10. 若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 直角三角形 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

已知式平方后可判断为正判断的正负，从而判断三角形形状．

详解】解：∵，∴，

∵是三角形一个内角，则，

∴，

∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形.

故选：A．

11. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为（dB）.听力会受到严重影响的声音约为90dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别把90dB，60dB代入函数中求出对应的，然后两个相比可得结果

【详解】∵听力会受到严重影响的声音约为90dB，∴，得，

∵室内正常交谈的声音约为60dB，∴，得，

∴，

故选：A.

12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. 无法计算

【答案】A

【解析】

【分析】先由是定义在R上的偶函数得，以及的奇偶性，得，从而可得答案．

【详解】因为是定义在上的奇函数， ．

因为是定义在上的偶函数，所以，

可得

所以，因此

故选：A．

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.

13. =___________.

【答案】1

【解析】

【分析】用诱导公式化简计算．

【详解】．

故答案为：1．

14. 函数在上的最大值为1，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得在上单调递减，即可得到，从而求出的值；

【详解】解：因为是由向右平移个单位得到，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得；

故答案为：

15. 函数的图象恒过一定点是___________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：对数函数过定点，令，此时，所以过定点

考点：对数函数过定点

16. 定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性得出，然后解一元二次不等式便可.

【详解】解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数

在定义域上是减函数，且

，即

故可知，即可解得

实数的取值范围为.

故答案为：

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.

【答案】（1）   

（2）在上单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据分式的分母不为0，即可得到答案；

（2）任取，，设，证明，即可得到答案；

【小问1详解】

要使函数有意义，当且仅当.

由得，

所以，函数的定义域为.

【小问2详解】

函数在上单调递减.

证明：任取，，设，则

.

∵，∴，，

又，所以，故，即，

因此，函数在上单调递减.

18. 设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边上有一点，且.

（1）求及的值；

（2）求的值.

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，即可求得参数；再根据三角函数定义，即可求得；

（2）利用诱导公式以及（1）中所求，即可求得结果.

【小问1详解】

∵，∴，

即，

，.

【小问2详解】

（2）原式.

19. 今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示.

（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；

（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）

【答案】（1）；.   

（2）公司最大利润为9千万，此时生产芯片投入的资金为4千万.

【解析】

【分析】(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.

【小问1详解】

(i)不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，

从而，故；

(ii)、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，

由图像可知，的图像过点，即，解得，

故所求函数关系式为.

【小问2详解】

由题意可知，，

由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值9.

20. 已知函数的部分图象，如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦型函数图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.

（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【小问1详解】

解：根据函数的部分图象

可得，，所以.

再根据五点法作图可得，

所以，.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

由，可得

又函数在上单调递增，在单调递减

，，

函数在的值域.

21. 已知是二次函数，其两个零点分别为-3､1，且.

（1）求的解析式；

（2）设的最小值为，若方程有两个不等的实数根，求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件设，求出a值即可作答.

(2)分段讨论求出二次函数在上的最小值，再探讨函数在上的性质即可推理作答.

【小问1详解】

因是二次函数，其两个零点分别为、1，

则设，由解得，则有，

所以的解析式是.

【小问2详解】

由(1)知，，其对称轴方程为，

若，即时，在上单调递增，，

若，即时，，

若，即时，在上单调递减，

而的最小值为，则有，

因，令，则，，

当时，，函数图象对称轴为，

因此，在上的图象关于直线对称，

在上递增，函数值从1增到2，在上递减，函数值从2减到1，

当时，在上递减，其函数值的集合为，函数在上单调递减，

于是得有两个不等根，当且仅当，

所以方程有两个不等实数根，的取值范围为.

【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.

22. 设全集为，集合，.

（1）若，求；

（2）若集合不是空集，且，求实数的取值范围.

【答案】（1），或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用补集和交集运算，借助数轴，即可得到答案；

（2）由可得不等式，再由可得或，解不等式即可得到答案；

【小问1详解】

（1）当时，，

，，或

，或，或

【小问2详解】

（2），解得.

又或，

解得：或

综上：或.

23. 计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件利用指数幂的运算法则计算作答.

(2)根据给定条件利用对数恒等式、对数换底公式及对数运算法则计算作答.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.