四川省乐山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

乐山市高中2024届期末教学质量检测

数学

第一部分(选择题  共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以并集定义解之即可.

【详解】，

故选：D

2. （    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过三角函数诱导公式一，把所求式化简成特殊角三角函数值，即可解决.

【详解】，

故选:A．

3. 已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（    ）．

A. ①③ B. ②③

C. ①② D. ①②③

【答案】C

【解析】

【分析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.

【详解】由可得

所以，故①错；，②错；，③对，

故选：C．

4. （    ）．

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】先利用诱导公式把化成，就把原式化成了两角和余弦公式，解之即可.

【详解】由可知

，

故选：B

5. 已知为奇函数，当时，，则（    ）．

A. 3 B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇偶性和解析式可得答案.

【详解】由题可知，

故选：B．

6. 已知，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平方关系由正弦求出余弦然后利用正弦的倍角公式求解即可.

【详解】因为且，则，

所以.

故选：C．

7. 当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输入病例数据：

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.

【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，

故选：D．

8. 已知函数，，如图所示，则图象对应的解析式可能是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用奇偶性和定义域，采取排除法可得答案.

【详解】显然和为奇函数，

则和为奇函数，排除A，B，

又定义域为，排除D．

故选：C．

9. 函数部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）．

A. 频率为 B. 周期为

C. 振幅为2 D. 初相为

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象可得、，然后利用求出即可.

【详解】由图可知，C正确；

，则，，B正确；，A错误；

因为，则，即，

又，则，D正确．

故选：A．

10. 函数，则的最大值为（    ）．

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】，然后利用二次函数知识可得答案.

【详解】，

令，则，

当时，，

故选：C．

11. 函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.

【详解】做出函数图像如下

由得，由得

故函数有3个零点

若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，

则a的取值范围，

故选：B．

12. 已知正实数x，y，z，满足，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的图像比较大小即可.

【详解】令，

则，，，由图可知.

故选：A．

第二部分非选择题  90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数的图像过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.

【详解】设，

幂函数的图像过点，，，，

故答案为：

14. 角的终边经过点，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.

【详解】由角的终边经过点，可知

则，，

所以．

故答案为：

15. 已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数图象的变换可得答案.

【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，

再将得到的图象向右平移个单位得．

故答案为：

16. 已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a的取值范围.

【详解】由可知，关于对称，

又，当时，单调递减，

故不等式等价于，即，

因为不等式解集是集合的子集，

所以，解得．

故答案为：

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17. 计算求值：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）以实数指数幂运算规则解之即可；

（2）以对数运算规则解之即可.

【小问1详解】

．

【小问2详解】

18. 已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）把已知条件变形，再以同角三角函数间的商数关系解之即可；

（2）利用齐次化切的方法求解较快捷.

【小问1详解】

由题可知，

解得，即．

【小问2详解】

原式

．

19. 对于函数．

（1）判断的单调性，并用定义法证明；

（2）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）在R上单调递增；   

（2）存在使得为奇函数.

【解析】

【分析】(1)利用函数单调性的定义证明；

(2) 利用函数奇偶性的定义求参数

【小问1详解】

证明：任取且，

则

又

且，

即

在R上单调递增．

【小问2详解】

若为R上为奇函数，则对任意的 都有

20. 已知函数，该函数图象一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为．

（1）求函数的对称轴和对称中心；

（2）求在上的单调递增区间．

【答案】（1）对称轴为，；，   

（2）和

【解析】

【分析】（1）先把化简成一个角的三角函数形式，再整体代换法去求的对称轴和对称中心；

（2）整体代换法去求在上的单调递增区间即可.

【小问1详解】

由题可知，

由对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，

得，解得，所以．

令，即，所以的对称轴为，；

令，即，所以的对称中心为，．

【小问2详解】

令∵，∴，

由图可知，只需满足或，即或，

∴在上的单调递增区间是和．

21. 为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2-4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元

（1）分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间(小时)之间的函数关系式；

（2）假如你的停车时间不超过4小时，方案A与方案B如何选择？并说明理由．

(定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作，比如：，)

【答案】（1），   

（2）当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得答案；

（2）根据（1）的答案分析即可.

【小问1详解】

根据题意可得：

A方案：当，；当时，

当时，；当，

所以

B方案：．

【小问2详解】

显然当时，；

又因为，，

所以存在，使得，

即，解得

故当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案．

22. 已知函数，其中．

（1）若的最小值为1，求a的值；

（2）若存在，使成立，求a取值范围；

（3）已知，在（1）的条件下，若恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）5    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）采用换元法，令，并确定的取值范围，化简为关于二次函数后，根据其性质进行计算；

（2）将存在，使成立，转化为存在，，求出的最大值列不等式即可；

（3）根据第（1）问的信息，将转化为关于的不等式，采用分离参数法，使用基本不等式，求得的取值范围.

【小问1详解】

令，则，，

当时，，解得．

【小问2详解】

存在，使成立，等价于存在，，

由（1）可知，，

当时，，解得．

【小问3详解】

由（1）知，，则

又，则 恒成立，等价于恒成立，

又，，则等价于

即，当且仅当时等号成立．